北京大学ACM竞赛训练：深度优先搜索与城堡问题解析

"北京大学暑期课程《ACM/ICPC竞赛训练》主要讲解了深度优先搜索（DFS）算法，并通过城堡问题作为实例进行了深入探讨。课程由郭炜教授讲授，旨在提升学员在算法竞赛中的能力。课程内容涉及如何将问题转化为图模型，以及如何运用DFS遍历图的所有可能，解决实际问题。" 在ACM/ICPC竞赛训练中，深度优先搜索（DFS）是一种基础且重要的算法。DFS的核心思想是通过递归或栈来遍历图的各个节点，以尽可能深的程度探索树的分支，直到找到解决方案或者遍历完所有可达节点。在描述中提到的城堡问题，是一个典型的图遍历应用，旨在计算城堡内的房间数量和最大房间的大小。 首先，我们需要理解城堡地形图的表示方式。每个方块由一个数字表示，这个数字是其周围四面墙的二进制组合。例如，数字1表示有西墙，2表示有北墙，4表示有东墙，8表示有南墙。当两个方块之间没有墙隔开时，它们在同一房间内。因此，我们可以通过DFS遍历来确定哪些方块属于同一房间。 DFS的执行流程如下： 1. 选择一个未访问的方块作为起点，将其标记为已访问。 2. 遍历当前方块的所有邻接方块，如果邻接方块未被访问，则对其执行DFS。 3. 继续遍历直到所有与起点有路径相通的方块都被访问。 4. 如果还有未访问的方块，重复上述过程，直到所有方块都被访问。 对于城堡问题的解题思路，我们可以采取以下步骤： 1. 初始化所有方块为未访问状态，并创建一个颜色数组，用于记录每个房间的染色情况。 2. 从任意一个未访问的方块开始，执行DFS，将遍历到的所有方块染为同一种颜色。 3. 当DFS结束，更新房间数量（颜色数组中的不同颜色数）和最大房间大小（颜色数组中最大值）。 4. 继续寻找并DFS其他未访问的方块，直到所有方块都已被访问过。 5. 输出房间数量和最大房间的大小。 通过这种方式，我们可以有效地解决城堡问题，计算出城堡中的房间总数和最大房间的规模。这个实例展示了DFS在处理图结构问题时的强大能力，特别是在解决连通性问题和搜索最短路径等方面。在ACM/ICPC等算法竞赛中，掌握DFS以及其他基础算法如广度优先搜索（BFS）是至关重要的，它们是解决复杂问题的基础工具。