实平稳随机过程的功率谱密度性质及维纳-辛钦定理详解

本资源主要讨论的是随机过程中的功率谱密度及其性质，针对非周期实函数信号s(t)展开分析。首先，信号s(t)被要求绝对可积且在一定区间内仅有有限个间断点和极值点，这样它的傅立叶变换S(jω)才得以存在，且S(jω)被称为频谱密度或频谱。 6.1节介绍如何确定信号的频谱和能量谱。信号s(t)的总能量可以通过帕塞瓦尔定理与频域内的能量相等来计算，其中能量谱密度（能谱密度）E(jω)反映了信号在不同频率上的能量分布。对于有限能量的信号，其能量在时域和频域内是守恒的。 然后，转向随机过程的功率谱密度。随机信号虽然其总能量可能无限，但平均功率是有限的。随机过程X(t)的功率谱密度SX(w)定义为极限情况下的期望值，即信号在不同时间尺度下的功率在频率域的平均分布。对于各态历经的平稳随机过程，功率谱密度可以通过单个样本函数的统计特性来估计。 性质1强调了功率谱密度SX(w)是非负实函数，这是因为它代表的是功率，而功率总是非负的。性质2指出，如果X(t)是实平稳随机过程，那么SX(w)是偶函数，即它关于频率轴对称，这是因为实信号的自相关函数是实函数，其傅立叶变换具有偶对称性。 维纳－辛钦定理是功率谱密度与自相关函数之间的重要关系，它表明平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度是对易的，即它们是傅里叶变换的一对。定理的适用条件包括自相关函数的解析性，这确保了傅立叶变换的存在。 本资源深入探讨了随机过程的功率谱密度概念、计算方法以及其与自相关函数的关系，这对于理解和分析随机信号在不同频域特性的关键理论工具。