自动控制原理：Z变换与差分方程解析

"《自动控制原理》孙亮、杨鹏北京工业大学" 本文将深入探讨《自动控制原理》一书中的关键概念，由孙亮和杨鹏两位专家编写，该书是北京工业大学的教学教材。我们将主要关注第8章的习题，这些习题涵盖了z变换、拉氏变换以及采样控制系统等核心主题。 首先，我们来看第8章习题8-1，这个部分涉及到了z变换的基础应用。z变换是一种在离散时间信号分析中广泛使用的数学工具，它将时间域内的序列转换到z域，便于分析系统的动态特性。题目要求对给定的时间信号求取它们的z变换。例如，(1)式是一个简单的单位阶跃响应；(2)式是一个由指数函数和余弦函数构成的信号；(3)式是一个指数衰减信号；(4)式是一个指数增长信号；(5)式是指数函数与正弦函数的乘积。每个信号的z变换都需要根据z变换的定义和性质来计算，例如线性性、移位定理和卷积定理。 接着，习题8-2要求从已知的拉氏变换求取z变换。拉氏变换是连续时间信号分析中的基础工具，而z变换则对应于离散时间信号。题目给出了四个时间函数的拉氏变换，然后要求求取它们的z变换。这通常需要利用拉氏变换和z变换之间的关系，如终值定理和辛维米定理。 在8-3中，我们面临的是一个逆z变换问题。给定采样信号的z变换，需要找出相应的时域表示。逆z变换可以通过查表、部分分式分解或数值方法来完成。对于这些具体例子，需要应用z变换表或利用部分分式展开来解出时间函数。 习题8-4涉及到差分方程的求解。差分方程是描述离散系统动态行为的基本工具。题目给出了两个差分方程，要求分别用z变换法和迭代法求解。z变换法通常更适用于解析求解，而迭代法则适合数值求解。解出的差分方程可以给出系统对输入信号的响应。 在8-5中，我们处理了一个采样控制系统的问题。采样控制系统是连续系统与离散控制理论的结合，其中采样间隔T至关重要。要计算输出信号，我们需要利用z变换和离散系统的稳定性分析。最后，我们需要绘制输出信号的波形，这有助于直观理解系统的动态行为。 在8-6中，题目给出了一个系统结构图，要求求解系统的输出z变换。这需要利用传递函数和系统框图的简化规则。通过计算闭环传递函数，我们可以得到系统的z变换表示。 《自动控制原理》第8章的习题涵盖了自动控制系统的多个重要方面，包括信号变换、差分方程求解、采样控制和系统分析。这些问题的解决需要对控制理论有深入的理解，同时熟练掌握相关数学工具。通过这些习题的练习，学生可以提升在实际工程问题中的分析和解决问题的能力。