高斯-赛德尔迭代法解线性方程组实现

"这篇资源主要介绍了高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）用于求解线性方程组的详细过程，并提供了C语言实现的代码示例。" 高斯-赛德尔算法是一种迭代方法，常用于求解大型稀疏线性方程组。它是基于雅克比迭代法的改进版本，提高了收敛速度。在解决线性方程组Ax=b时，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，高斯-赛德尔迭代法通过不断更新每一项x_i来逼近解。 雅克比迭代法在更新每个未知数x_i时，只使用了当前迭代步的其他已知x_j（j≠i），而高斯-赛德尔算法在更新x_i时，不仅使用了当前迭代的x_j（j<i），还使用了前一次迭代的x_j（j>i）。这种改进使得新值的计算更接近真实解，从而可能更快地达到收敛。 以下是高斯-赛德尔迭代法的基本步骤： 1. 初始化：设置一个初始猜测向量x^(0)，通常可以选择全零向量。 2. 迭代：对于k=1, 2, ..., Max（最大迭代次数），执行以下操作： - 对于每个i (i=1, 2, ..., n)，计算 x_i^(k) = (b_i - Σ(A[i][j] * x_j^(k)) / A[i][i] 其中，j的范围是0到n，但不包括i自身（即j<i时使用x_j^(k)，j>i时使用x_j^(k-1)）。 - 如果所有x_i^(k)的改变量都小于预设的精度eps，或者达到最大迭代次数，停止迭代。 - 否则，继续下一次迭代。 在提供的C语言代码中，可以看到如何设置矩阵A、向量b和初始解x，并执行迭代过程。在每次迭代后，计算相邻两次迭代结果的差异（dif），当这个差异小于预设的精度阈值（这里为1e-3）或达到最大迭代次数（Max=100）时，迭代停止。 注意，对于不同类型的线性方程组，高斯-赛德尔算法的收敛性可能会有所不同。对于对角占优的矩阵（即|A[i][i]|>|Σ(A[i][j], j≠i)|），该算法通常会收敛。但在某些情况下，如矩阵非对角占优或奇异时，可能无法收敛，需要采用其他方法，如共轭梯度法或LU分解等。 高斯-赛德尔算法是数值线性代数中一种实用的求解线性方程组的方法，尤其适用于大型问题，因为它的计算效率较高且内存需求相对较小。在实际应用中，需要根据具体问题的性质选择合适的迭代方法，并设定适当的迭代参数，如最大迭代次数和精度阈值。