信赖域方法与半正定规划：矩阵分解求解策略

"这篇论文主要探讨了半正定规划（SDP）在解决非线性优化问题中的应用，特别是信赖域方法中的信赖域子问题。文章指出，Sturm和Zhang通过秩一分解方法首次建立了信赖域子问题与半正定规划的联系，证明了无约束信赖域子问题的SDP松弛具有紧性。然而，他们的方法虽然在理论上有构造性证明，但在实际操作中并未提供简单有效的分解策略。" 正文: 信赖域方法是解决非线性优化问题的关键技术之一，它在处理复杂非线性问题时表现出强大的能力。这一方法的核心在于在每一步迭代中解决一个信赖域子问题，该子问题通常表现为一个二次优化问题。Sturm和Zhang的工作揭示了信赖域子问题与半正定规划之间的紧密关系，他们提出了一种秩一分解的方法，使得无约束的信赖域子问题可以通过半正定规划的松弛问题得到求解。这种方法的优势在于，通过解决SDP问题，可以找到原问题的最优解。 然而，尽管Sturm和Zhang的理论证明是健全的，他们在实际应用中没有提供简洁的分解方法。针对这一问题，本文的作者范丽君和艾文宝提出了一个改进的矩阵分解策略，该策略旨在简化原有的分解过程，以获得原问题的精确解或近似解。这一方法不仅易于实现，而且通过Matlab软件编程得以验证其有效性。 论文进一步扩展了这一方法，应用于等式约束优化问题的信赖域子问题，即所谓的两球问题。初期的数值实验表明，该方法对超过95%的两球问题都表现出良好的有效性。这表明，利用半正定规划的松弛策略不仅可以解决无约束问题，还可以有效地处理有约束的情况，为大规模非线性优化问题提供了新的求解途径。 关键词如“信赖域方法”、“信赖域子问题”和“SDP松弛”强调了论文的核心内容。信赖域方法在非线性优化中的重要地位以及对信赖域子问题求解的深入研究，反映了这一领域内的研究热点。SDP松弛作为求解信赖域子问题的新工具，极大地提高了计算效率，特别是在处理大规模问题时。 这篇论文不仅提供了对信赖域方法理论基础的深化理解，还贡献了一个实用的矩阵分解方法，这对于实际的优化问题求解具有重要意义。此外，通过数值实验验证，该方法的有效性得到了充分的体现，有望在未来的非线性优化算法设计中发挥重要作用。