第七章 约束优化：理论
习题设计说明：
1. KKT条件的理解和应用：习题7.1-习题7.3，习题7.5，习题7.7，习题7.21(凸规划).
2. 深刻理解KKT条件：KKT条件中的约束规范的作用(习题7.6，习题7.7(a))； La-
grange乘子的意义(习题7.4)；如果积极约束是线性无关的，即LICQ成立，如何设计数值稳
定的算法得到Lagrange乘子(习题7.8)；非积极约束对问题局部解和全局解的影响(习题7.20).
3. 二阶最优性条件：习题7.9.
4. 凸函数的性质与次梯度：习题7.10-习题7.11.
5. Lagrange对偶：习题7.12-习题7.14(如何写对偶)，其中习题7.13体会写对偶时的灵活
性(即确定那些约束松弛到目标中)，习题7.15(结合具体例子理解对偶定理).
6. SDP的相关练习：习题7.16(SDP中常用的事实)，习题7.17(熟悉SDP的对偶理论)，
习题7.18(该结论在工程中很常用).
7. 表述练习：习题7.19给出了工程中常用的三种最优化问题，所给问题是非光滑函
数的无约束最优化，常用的软件不能求解这些问题. 利用解决习题2.2和习题2.3时的技巧，
可以把这些问题重新表述成光滑的约束最优化，从而利用常用的优化软件进行求解.
7.3 考虑问题
minimize
x∈R
2
(x
1
−
9
4
)
2
+ (x
2
− 2)
2
subject to −x
2
1
+ x
2
≥ 0
x
1
+ x
2
≤ 6
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0.
(a) 写出 KKT 条件, 并验证点 x
∗
= (
3
2
,
9
4
)
T
满足这些条件.
(b) 给出 x
∗
处KKT条件的几何解释.
(c) 说明 x
∗
是该问题的最优解.
解: (a) L(x, λ) = (x
1
−
9
4
)
2
+ (x
2
−2)
2
+ λ
1
(x
2
1
−x
2
) + λ
2
(x
1
+ x
2
−6) + λ
3
(−x
1
) +
λ
4
(−x
2
).
∇
x
L(x, λ) =
2(x
1
−
9
4
) + 2λ
1
x
1
+ λ
2
− λ
3
2(x
2
− 2) − λ
1
+ λ
2
− λ
4
.
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