MATLAB实现一维与非线性插值：拟合实例与温度预测

本资源是一份关于用MATLAB进行插值和拟合的讲义，由数学学院袁栩讲解，主要涵盖了一维和二维插值技术在数学建模中的应用。主要内容包括： 1. **线性最小二乘拟合**：这是一种基础的统计方法，用于找到一条直线或超平面，使得所有数据点到这条直线的垂直距离平方和最小。在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数实现线性拟合。 2. **非线性最小二乘拟合**：对于更复杂的函数关系，非线性最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过迭代优化来找到最佳拟合曲线。MATLAB提供了`lsqcurvefit`函数来进行非线性拟合。 3. **插值技术**：MATLAB中的`interp1`函数是核心工具，用于在一维数据上进行插值。它支持多种插值方法，如'nearest'（最近邻插值）、'linear'（线性插值）、'spline'（三次样条插值）和'cubic'（立方插值）。这些方法要求输入数据x有序且xi在x范围内。例如，例1展示了如何使用三次样条插值对数据进行平滑处理，插值函数的结果与原始数据非常接近。 4. **Hermite插值**：虽然讲义中没有详细介绍，但Hermite插值是一种使用导数信息提高插值精度的方法，在MATLAB中可能需要用户自行实现或使用专门的插值库。 5. **Runge现象**：这是一个插值理论中的概念，当插值节点分布不均匀时，可能导致插值误差增大。在使用插值时，需要注意避免这种现象，特别是在光滑曲线的高阶导数变化较大时。 6. **具体示例**：讲义中给出了三个实例来演示插值和拟合的实际应用： - 例1通过三次样条插值模拟连续数据，显示了插值函数能够很好地逼近给定数据。 - 例2涉及时间序列数据，通过`interp1`计算每隔1/10小时的温度值，展示了插值在处理实时或密集采样数据中的作用。 - 例3是实际工程问题，利用飞机下轮廓线数据，计算x值微小变化时对应的y值，展示了插值在连续数据处理中的实用性。 通过这份讲义，学习者可以掌握MATLAB中进行插值和拟合的基本操作，并理解其在实际问题中的应用和注意事项。