四川大学研究生数值分析试题与解答

"四川大学数值分析试题" 这是一份四川大学研究生级别的数值分析考试试卷，包含了数值分析中的核心概念和计算方法。数值分析是数学的一个分支，主要研究如何使用计算机来解决数学问题，尤其是那些不能得到精确解的问题。试卷涵盖了以下几个方面的内容： 1. 绝对误差与相对误差：第一题涉及了数值近似中的误差分析，要求计算给定数值x相对于准确值a的绝对误差界。绝对误差是指近似值与真实值之间的差值的绝对值，它是衡量数值计算精度的重要指标。 2. 矩阵理论与奇异值：第二题考察了矩阵的奇异值，这是线性代数中的重要概念，奇异值分解在处理线性方程组、数据压缩等领域有着广泛应用。 3. 相对误差的乘法规则：第三题讨论了相对误差在乘法运算中的传播规律，指出如果两个数的相对误差都是0.001，它们相乘后相对误差的大致范围。 4. 计算表达式与编程：第四题和第五题的MATLAB程序部分，涉及到了矩阵运算和表达式的编程表示，这在数值计算中是常用技能，MATLAB是进行科学计算的常用工具。 5. 迭代法与收敛性：第二部分的题目中，要求写出解微分方程的迭代格式，并证明其线性收敛。线性收敛是一种收敛速度，意味着随着迭代次数增加，解的误差以固定比例减小。 6. 正交分解与最小二乘解：第三部分涉及Householder方法，这是一种用于矩阵正交分解的技术，常用于求解线性最小二乘问题。在这里，需要利用Householder变换找到矩阵A的QR分解，并用这个分解求解矛盾方程组的最小二乘解。 7. Newton插值与误差估计：第四部分涉及到数据插值，特别是Newton插值，用于通过有限个数据点构建多项式模型。同时，要求使用事后误差估计方法评估插值的准确性。 8. 正交多项式与最佳平方逼近：第五部分要求利用正交多项式求解函数的二次最佳平方逼近，这是函数拟合的一种常见方法，可以有效地逼近函数在指定区间的行为。 9. 插值型求积公式：第六部分涉及到插值多项式在积分计算中的应用，通过一次插值多项式构建积分的求积公式，并分析其截断误差。 10. 分量迭代法与矩阵迭代：最后一部分探讨了线性方程组的分量迭代法，要求导出矩阵迭代格式和迭代矩阵，并证明在特定条件下迭代法的收敛性。 这些题目全面地测试了学生对数值分析中的基本理论、算法以及其实现的理解，包括误差分析、矩阵理论、数值解法、插值、逼近、迭代方法等多个核心知识点。