动态规划实例：数字三角形最大路径和

动态规划案例分析：数字三角形求解 动态规划是一种在计算机科学中广泛应用的算法技巧，主要用于解决那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。在这个特定的案例中，题目是关于寻找一个数字三角形中从顶部到底部的最佳路径，使得路径上所有数字之和最大。这个问题是典型的动态规划问题，因为它涉及分解问题成更小的子问题，并通过存储中间结果避免重复计算。 首先，我们需要明确问题的基本定义： 1. 输入：一个包含N行（1<N<=100）的数字三角形，每个数字在0到100之间。 2. 目标：找出从第一行第一个数字开始到三角形底部的路径，其数字和最大。 解题思路的关键在于递归思想的运用，虽然这里没有直接使用递归函数，但递归的概念仍然存在。对于每个位置(r,j)，我们有两个可能的选择：向左移动(D(r+1,j))或向右移动(D(r+1,j+1))。选择哪条路径取决于这两条路径到底部的最大和哪个更大，即MaxSum(r+1,j)和MaxSum(r+1,j+1)中的较大值。 参考程序I中，`MaxSum`函数实现了这个递推逻辑。函数接收两个参数，r 表示当前行号，j 表示当前位置。当到达最后一行(r==N)时，返回当前位置的数字。否则，函数会分别计算沿着左右两侧路径的和，然后选择较大的一个加上当前位置的数字作为当前路径的和。 在`main`函数中，用户输入三角形的行数和每个位置的数字，然后调用`MaxSum`函数从第一行第一列开始计算最大和并输出结果。 总结来说，这个动态规划问题的核心是设计一个自底向上的递推过程，通过比较不同路径的累积和来逐步找到最优解。它展示了如何利用递推关系以及保存中间结果来优化算法性能，避免不必要的重复计算，这是动态规划解决问题的重要特性。通过这个案例，我们可以看到动态规划在实际问题中的应用和价值。