双参数弹性地基矩形薄板自由振动分析：Hamilton方法

"双参数弹性地基上矩形薄板自由振动问题的Hamilton方法是由赵琴和额布日力吐在内蒙古大学数学科学学院研究的成果。该方法利用矩阵多元多项式的带余除法将双参数弹性地基上的矩形薄板振动方程转化为Hamilton系统，并通过分离变量来确定相应的Hamilton算子。" 在工程领域，矩形薄板的振动分析对于理解和设计结构的动态响应至关重要，尤其是在桥梁、建筑和航空航天结构中。双参数弹性地基模型考虑了地基的横向和纵向弹性，使得分析更为精确。Hamilton方法是一种在量子力学和经典力学中广泛使用的理论框架，它结合了拉格朗日力学的能量观点与哈密顿力学的动力学观点，用于描述物理系统的动力学行为。 在该研究中，作者首先应用矩阵多元多项式的带余除法，这是一种数学工具，用于处理复杂的线性微分方程组，特别是当方程与某些特定的多项式结构有关时。这种方法允许将矩形薄板的振动方程简化为一个无限维的Hamilton系统，这个系统由一组线性微分方程构成，其中每个方程都与系统的能量守恒相关联。 随后，通过分离变量法，研究人员能够构造出对应的Hamilton算子，这是一个在量子力学中表示系统状态和演化的重要算子。计算出的Hamilton算子的本征值代表了系统的振动频率，而本征函数系则对应于这些频率的振动模式。对边简支的矩形薄板问题中，他们成功地得到了这些本征值和本征函数系，并证明了它们在Cauchy主值意义下是辛正交且完备的。这意味着这个函数系可以用来描述所有可能的振动模式，而且这些模式相互之间是独立的。 完备性意味着任何满足初始条件的解都可以通过本征函数系的线性组合来表示。因此，他们得到了对应于双参数弹性地基上对边简支矩形薄板的振动问题的振型函数的通解，这为实际工程中的振动分析提供了理论基础。 通过两个具体的例子，作者进一步展示了如何使用这种方法来计算自由振动问题的频率和振型函数，证实了该方法的有效性和实用性。这些计算结果对于预测结构在外部激励下的动态响应，以及进行振动控制和减震设计具有重要意义。 这项工作为双参数弹性地基上的矩形薄板自由振动问题提供了一种新的解决途径，即基于Hamilton方法的数学建模和求解策略，对于结构动力学和土木工程领域的研究具有重要价值。