有向图的连通性与距离

"本章介绍了图的基本概念，包括无向图和有向图的定义、图的连通性以及相关的概念。重点讲述了有向图的可达性和短程线的定义，强调了图在离散数学中的应用。" 在离散数学中，图是一种重要的结构，用于表示对象之间的关系。图分为两种主要类型：无向图和有向图。无向图由顶点集V和无序边集E组成，其中E是V的无序积的多重子集。而有向图则是由顶点集V和有序边集E组成，E是V的笛卡尔积的多重子集，即每条边是有方向的。 图的连通性是图论中的核心概念之一。在有向图中，如果存在从顶点vi到vj的路径，我们说vi可达vj，记作vi→vj。如果vi同时可以到达vj并且vj也可以到达vi，我们称vi与vj是相互可达的，记作vi  vj。相互可达性在有向图中形成了一个重要的概念——强连通分量，它是由图中任意两个顶点都是相互可达的顶点集构成的子图。 短程线是图中从一个顶点到另一个顶点长度最短的路径，其长度定义为这两个顶点之间的距离d<vi,vj>。尽管有向图的距离没有无向图中的距离d(vi,vj)对称，但它仍然保留了距离的一些基本性质，如三角不等式。 在图的其他相关概念中，顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。对于无向图，度数是所有邻接顶点的边数之和；对于有向图，出度是指有向边指向其他顶点的数量，入度则是有向边从其他顶点指向的数量。握手定理指出，在无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍。 图的同构是指两个图在结构上是相同的，即使它们的顶点和边可能有不同的标签。完全图是每个顶点与其他所有顶点都相连的图，正则图则是所有顶点具有相同度数的图。子图是原图的一个部分，包含原图的部分顶点和这些顶点间的边；补图则是原图中所有未连接的顶点之间添加边，已连接的顶点之间删除边所形成的图。 图的矩阵表示是用矩阵来描述图的结构，如邻接矩阵和关联矩阵，它们在计算和分析图的性质时非常有用。此外，图的运算包括图的并、图的积以及图的生成树等，这些都是图论研究的重要组成部分。 这些基础知识在计算机科学中有着广泛的应用，如网络路由、数据结构设计、算法分析和复杂网络建模等领域。理解图的概念及其性质对于深入学习算法和理论计算有着至关重要的作用。