局部线性回归与核方法：Kernel Trick在非参数回归中的应用

"局部线性回归是解决非参数回归问题的一种方法，特别是在处理加权核回归在训练数据边缘附近表现不佳的问题时。核回归，尤其是Nadaraya-Watson核回归，是局部线性回归的一个实例，它利用核函数来估计目标变量的条件期望。在该方法中，权重分配依赖于核函数的值，而邻域大小由核函数的宽度控制。" 局部线性回归是一种克服核回归在边界点估计不足的技术。在参数回归如线性回归中，我们假设目标变量与自变量之间存在线性关系。然而，当这种假设不成立时，最小二乘法的回归效果可能不尽人意。非参数回归则不预设因变量与自变量的关系形式，而是通过邻近点的加权平均来估计函数。 核回归，特别是Nadaraya-Watson核回归，是对回归方程的非参数估计。它将每个预测点x处的目标变量的加权平均作为其估计值，权重由核函数K(x)决定，而邻域大小由带宽h控制。核函数的作用是将数据点的邻域内其他点的影响平滑地衰减到零，使得远离预测点的数据点对估计的影响减小。 公式表示如下： \( r(x) = \frac{\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{x - x_i}{h}\right) y_i}{\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{x - x_i}{h}\right)} \) 其中，\( r(x) \) 是在x处的预测值，\( K \) 是核函数，\( h \) 是带宽，\( (x_i, y_i) \) 是训练数据点。通过调整带宽h，可以控制模型的复杂度，较大的h会导致更平滑的估计，而较小的h会更好地捕捉局部细节。 核回归的理论基础包括核技巧（Kernel Trick），这允许在高维空间中进行非线性变换，但无需明确定义这个变换。正则化理论也是核方法的一部分，它确保模型不会因为过多的自由度而过拟合。 核函数的选择会影响核回归的性能。常见的核函数有高斯核（也称为高斯径向基函数或RBF）、Epanechnikov核、三角核等。每种核函数都有其特定的形状和性质，适用于不同的数据分布情况。 总结来说，局部线性回归和核回归是统计学中的重要工具，用于处理非线性和复杂的数据关系。它们通过局部加权和非参数方法提供了灵活的模型，能够在不事先知道数据具体关系的情况下，有效地进行预测和建模。