3D编程必备：向量运算与空间变换

本文主要介绍了3D编程中常用的数学公式，包括向量的标量积、矢量积、平移变换、缩放变换、3D旋转变换以及透视变换。 在3D编程中，理解并掌握这些基本的数学运算至关重要，它们是构建3D图形的基础。以下是每个公式的详细解释： 1. 向量的标量积（点积）：给定向量A(x, y, z)和B(x', y', z')，它们的标量积计算公式为 A·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz。这个值表示两个向量在同一直线上的投影乘积的和，也可以看作是向量A在向量B方向上的投影长度。 2. 向量的矢量积（叉积）：向量A和B的叉积会产生一个新的向量C，其坐标为(Cx, Cy, Cz)，计算方式是利用行列式，例如：A×B = (Ay * Bz - Az * By, Az * Bx - Ax * Bz, Ax * By - Ay * Bx)。这个新向量与原向量垂直，并且它的大小等于原向量构成的平行四边形面积。 3. 平移变换：平移向量t(t_x, t_y, t_z)可以将3D空间中的点(x, y, z)平移到(x' = x + t_x, y' = y + t_y, z' = z + t_z)的位置。这通常用于在场景中移动物体。 4. 缩放变换：缩放向量(s_x, s_y, s_z)会将点(x, y, z)按照比例缩放到(x' = s_x * x, y' = s_y * y, z' = s_z * z)。s_x, s_y, s_z为各轴的缩放因子，如果它们不全为1，则会导致形状扭曲。 5. 3D旋转变换：通过绕三个正交轴（x, y, z）进行旋转，分别对应角度α、β、γ。左手规则用于确定旋转方向，其中-z绕y轴转α角，+y绕x轴转β角，+x绕z轴转γ角。每个旋转可以用一个旋转矩阵表示，然后将它们按顺序应用。 6. 透视变换：透视变换用于模拟人眼观察3D物体时的透视效果。给定焦点距离focus，点(x, y, z)会被转换为(x' = x/z, y' = y/z, z' = 1)。为了处理z=0的情况（即视平面上的点），需要对点进行额外的归一化处理，即将点坐标除以(z/focus)，使得近处的物体看起来比远处的大。 以上公式是3D程序设计中不可或缺的部分，它们被用于构建3D图形渲染管线，实现物体的定位、旋转、缩放以及投影等操作。理解并熟练运用这些公式对于创建复杂的3D场景和动画至关重要。