三级对角半隐式随机Runge-Kutta算法在随机微分方程求解中的应用

"随机微分方程的三级对角半隐式随机Runge-Kutta算法的实现" 本文主要探讨了如何实现三级对角半隐式随机Runge-Kutta算法来解决自治Stratonovich随机微分方程（SDEs）。作者庞立君来自河海大学理学院，研究集中于构建具有高阶精度和数值稳定性的算法。 随机微分方程在现代科学和工程领域中扮演着重要角色，特别是在生物、经济和金融模型中。由于SDEs的理论解通常难以获得解析形式，因此数值解方法成为研究的主要手段。Runge-Kutta方法作为数值积分的经典工具，被广泛应用于求解常微分方程，而在随机微分方程领域，它也得到了相应的发展。 近年来，学者们对二级、四级和五级的随机Runge-Kutta方法进行了深入研究，提出了一系列具有优良性质的算法。然而，对于隐式方法，有研究表明二级对角隐式随机Runge-Kutta方法可能不具备均方稳定性。在此背景下，庞立君构造了一个新的三级对角半隐式随机Runge-Kutta方法，旨在克服这些问题并提高数值稳定性和计算精度。 文中提出了两种数值方案，方法w1和方法w2。方法w2被认为是一个具有大均方稳定区域的半隐式方法，而方法w1则具有较大的均方稳定区域。这两个方法都是针对Stratonovich类型的SDEs，公式如(1.1)所示，其中漂移项由函数f(t, y)表示，扩散项由g(t, y)表示，且包含一个与Wiener过程dW相关的项。 随机Runge-Kutta方法的核心在于利用离散时间步长将连续时间的SDE转化为一系列代数方程，然后通过迭代求解这些方程来逼近SDE的解。在三级对角半隐式结构中，部分未知变量在时间步的更新中被预先计算，从而降低了解决复杂系统时的计算负担。 对方法w1和w2的数值稳定性的分析和比较是文章的关键部分。均方稳定性是衡量随机数值方法性能的重要标准，它确保了随着时间步长减小，解的均方误差也会按比例减小。这两种方法的优良性能使得它们在处理具有挑战性的SDE问题时更具吸引力。 这篇论文贡献了一种新的随机微分方程数值求解策略，通过三级对角半隐式随机Runge-Kutta算法，提供了更高效且稳定的解法，对于理论研究和实际应用都有重要的价值。