三分法解决墙壁砌砖最小成本问题

需积分: 0 0 下载量 60 浏览量 更新于2024-08-04 收藏 11KB MD 举报
"第三次周赛题解(1).md" 这是一道关于优化算法和成本计算的问题,题目要求在给定的墙列上通过三种操作使得所有墙的高度一致,并求出最小的代价。以下是详细的知识点解析: 1. **问题定义**: - 墙壁上有N列,每列墙的高度为h[i]。 - 操作1:添加一块砖到一列墙,花费A。 - 操作2:从一列墙移走一块砖,花费R。 - 操作3:将一列墙上的砖移到另一列墙,花费M。 - 目标:使所有墙的高度相同,求最小总成本。 2. **输入与输出**: - 输入包含四个整数N, A, R, M以及每列墙的高度数组h[i]。 - 输出是实现目标所需的最小代价。 3. **算法思想**: - 使用**三分搜索**( ternary search)来找到最优的墙高。三分搜索是在已排序的数组中查找特定元素的搜索算法,它将搜索区间分为三部分,每次排除掉一部分不可能的区间,从而减少搜索范围。 - 定义一个函数`check(mid)`,检查给定高度`mid`时,需要多少代价来调整所有墙到`mid`高度。 4. **check()函数**: - `up`表示需要加砖的总数量,`down`表示需要减砖的总数量。 - 遍历每列墙,如果高度大于`mid`,则需要加砖,`up`增加;如果小于`mid`,则需要减砖,`down`增加。 - 当`M <= A + R`时,考虑第三个操作是否更优。如果第三个操作的代价小于第一个和第二个操作的组合,那么优先使用第三个操作。 - 计算`up`和`down`对应的操作代价,并返回总代价。 5. **代码实现**: - 使用`long long`类型存储可能的大整数。 - 定义边界`l`和`r`,并用三分搜索更新`lmid`和`rmid`,不断缩小可能的最优解区间。 - 在三分搜索过程中,比较`check(lmid)`和`check(rmid)`的结果,根据比较结果调整搜索区间。 6. **复杂度分析**: - 时间复杂度:三分搜索的时间复杂度是O(log(max_height)),其中max_height是所有墙的最大高度。 - 空间复杂度:主要消耗在输入数组和辅助变量上,是O(n)。 这个问题需要理解操作的成本模型,合理地设计搜索策略,以及有效地实现三分搜索算法。通过这个题目,我们可以学习如何在实际问题中应用搜索和优化算法,以及如何处理成本和操作效率之间的权衡。