差分方程模型简介及应用

差分方程模型 差分方程模型是离散状态转移模型的一种，涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍。 **差分方程的定义** 规定t只取非负整数。记t y为变量y在t点的取值，则称t y的一阶向前差分为Δy = y(t+1) - y(t)，简称差分。 **差分方程的阶** 由t y的差分给出的方程称为t y的差分方程，其中含t y的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。 **差分方程的形式** 差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程y(t+2) = y(t+1) + y(t) 也可改写成 y(t+2) - 2y(t+1) + y(t) = 0。 **差分方程的解** 满足一差分方程的序列t y称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有n个独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 **常系数线性差分方程** 称如下形式的差分方程为n阶常系数线性差分方程： y(t+n) = a_1 y(t+n-1) + a_2 y(t+n-2) + ... + a_n y(t) 其中n、a_1、a_2、...、a_n是常数，a_n ≠ 0。其对应的齐次方程为： y(t+n) - a_1 y(t+n-1) - a_2 y(t+n-2) - ... - a_n y(t) = 0 **线性差分方程的解** 易证，若序列t y_1和t y_2均为齐次方程的解，则t y = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t)也是方程的解，其中c_1和c_2为任意常数。 **代数方法** 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I）先求解对应的特征方程λ^n - a_1 λ^(n-1) - a_2 λ^(n-2) - ... - a_n = 0 （II）根据特征根的不同情况，求齐次方程的通解。 （i）若所有特征根均不同，则通解为y(t) = c_1 λ_1^t + c_2 λ_2^t + ... + c_n λ_n^t （ii）若有重根，则通解为y(t) = (c_1 + c_2 t + ... + c_k t^(k-1)) λ^t （iii）若有复根，则通解为y(t) = c_1 λ_1^t + c_2 (λ_1^*)^t 其中c_1、c_2、...、c_n为任意常数。