探讨微分方程解的局限性及存在区间——以牛顿落体为例

本资源是一份关于常微分方程的教学课件，由闫宝强、傅希林、刘衍胜、范进军、劳会学和张艳燕共同制作。课程内容涵盖了常微分方程的基础理论，包括初等积分方法、定性与稳定性概念、线性微分方程、基本定理、线性微分方程组以及一阶偏微方程的初步介绍。课件以实例为导向，如物体下落问题，阐述了微分方程的起源和重要性，它是通过数学表达运动物体与其瞬时变化率之间的联系，进而揭示自然规律。 在"例1 物体下落问题"中，讲解了如何通过建立坐标系，利用牛顿第二定律（F=ma）来建立微分方程。具体来说，当物体下落时，速度v与加速度a之间的关系通过空气阻力（k为阻尼系数）和重力加速度g的乘积来表示，形成了微分方程(1.1)。对于自由落体运动（k=0），简化后的微分方程(1.2)通过积分得到物体距离与时间的关系(1.3)。 微分方程分为常微分方程和偏微分方程，前者如(1.1)式，只涉及一个自变量t，未知函数x及其导数。常微分方程的解决方法和理论将在后续章节深入探讨，如第一章介绍初等积分技巧，有助于理解方程的解法。第五章讨论定性与稳定性概念，这对于分析方程解的行为和预测物理系统的行为至关重要。 通过这个课件的学习，学生将了解到微分方程在实际问题中的应用，如物理学中的运动问题，以及它在数学建模中的核心地位。此外，课程还会引导学生掌握求解线性微分方程的基本技巧和方法，为后续的偏微分方程和更高级的数学分析打下坚实基础。