C++实现共轭梯度法解稀疏矩阵线性方程

该资源提供了一个使用C++实现的共轭梯度法程序，用于解决稀疏矩阵的线性方程组。程序包含了向量的定义、创建、乘法、加法以及转置等基本操作。 共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种在数值线性代数中广泛使用的迭代方法，主要用来求解大型稀疏线性系统。它尤其适用于那些系数矩阵是对称正定的情况，因为它具有快速收敛的特性，迭代次数通常不超过矩阵的阶数。这种方法的优点在于它避免了矩阵的直接乘法，因此在处理大规模问题时比传统的高斯-塞德尔或高斯消元法更有效率。 在给出的代码中，定义了一个`vector`结构体来表示向量，包括向量的标记（行向量或列向量）、维度和元素数组。`vecCreat`函数用于创建向量并输入其元素；`vecMultiply`函数执行向量的点乘（内积）运算，当且仅当两个向量是行向量与列向量的组合时；`vecAdd`函数执行向量的加法，要求两个向量的类型和维度相同；`vecConvert`函数实现向量的转置，即改变向量的行列标志；`vecMole`函数计算向量的模，即向量元素的平方和的平方根。 共轭梯度法的核心算法包含以下步骤： 1. **初始化**：给定初始解向量`x_0`，通常选择为零向量，和残差向量`r_0 = b - Ax_0`，其中`b`是右端项，`A`是系数矩阵。 2. **选择初始方向向量**：通常选择`d_0 = r_0`。 3. **主循环**： - 计算下一个迭代步长`α_k`，使得向量`p_k`与`r_k`共轭，即满足`Ap_k = α_kr_k`。 - 更新解向量`x_{k+1} = x_k + α_kd_k`。 - 更新残差向量`r_{k+1} = r_k - α_kAp_k`。 - 如果`r_{k+1}`的模足够小，认为达到收敛，结束循环。 - 计算下一个步长`β_k`，用于形成新的方向向量`d_{k+1}`，通常是`β_k = (r_{k+1}, r_{k+1}) / (r_k, r_k)`，其中`(., .)`表示向量的内积。 - 更新方向向量`d_{k+1} = r_{k+1} + β_kd_k`。 4. **结束**：返回最后的解向量`x_{k+1}`。 在实际应用中，为了提高效率，还需要考虑如何高效地存储和操作稀疏矩阵，例如采用压缩存储方式如压缩行存储（CSR）或压缩列存储（CSC）。此外，对于不完全的Cholesky分解、预条件共轭梯度法等优化策略也是常用于加速共轭梯度法的手段。 共轭梯度法是一种重要的数值计算方法，通过迭代求解大型稀疏线性系统的近似解。上述C++代码提供了一个基础框架，但没有实现完整的共轭梯度法算法，需要补充计算步长`α_k`和`β_k`的部分，以及考虑稀疏矩阵的高效操作。