LQP下降法：解决结构单调变分不等式的新策略

本文探讨了一种基于对数二次邻近法(LQP)的下降算法，用于求解结构化单调变分不等式(SVI)问题。该研究由作者李敏提出，主要关注在经济管理和东南大学背景下，针对形式为： (1) 找到一个解 \( u^* \) 属于域 \( \Omega = \mathbb{R}^n_+ \times Y \)，满足对于所有 \( u \in \Omega \)，有 \( (u - u^*)^T F(u^*) \geq 0 \) 的SVI问题。其中， \( u \) 表示为 \( u = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)，函数 \( F(u) = \begin{bmatrix} \mu f(x) + Ay \\ -A^Tx + b \end{bmatrix} \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times m \) 矩阵，\( b \) 是 \( R^m \) 中的一个向量，\( Y \) 是非空闭凸集合，而 \( f \) 是一个连续且单调的映射。 研究的核心在于设计一种基于LQP预测-校正方法的下降方向，这种方法参考了《计算优化与应用》期刊的一篇文章（Computational Optimization and Applications, 2006 年第35卷，19-46页）。LQP方法利用了对数函数的特性来构造有效的搜索方向，有助于找到更接近最优解的迭代步骤。 此外，文中还重点讨论了如何确定沿着这些下降方向上的最优步长，目的是为了加速新算法的收敛性。这种优化策略对于提高算法的性能至关重要，尤其是在处理复杂交通均衡问题时，能够有效地找到稳定且高效的解决方案。 本文的研究贡献包括：提出了一种新的下降方法，结合了对数二次邻近的预测-校正思想，以及对步长选择的优化，使得算法在解决结构化单调变分不等式问题时具有良好的性能。它在数学上属于代数系统理论(65K10)、泛函分析(58E35)以及优化理论(90C30)的范畴，并使用了“下降方法”、“对数二次邻近法”和“结构化变分不等式”作为关键词。 这篇首发论文为求解结构化单调变分不等式提供了一种新颖且有效的算法，通过结合LQP技术和优化策略，有望在实际问题中展现出优异的数值结果。