同济大学线性代数第四版习题解析

"同济大学线性代数第四版答案，包含第一章至第五章的习题解答，由黄正华提供，适用于学习线性代数的学生参考。" 线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、线性变换以及它们之间的关系。同济大学出版的线性代数教材在国内外广受欢迎，第四版更是经过多次修订，内容更加完善。这份习题答案详细解答了教材中的习题，有助于学生深入理解和掌握线性代数的基本概念、定理和方法。 第一章 行列式 行列式是线性代数的基础，用于衡量一组数或变量的线性相关性。习题中提到了如何利用对角线法则计算三阶行列式，例如题目(1)通过展开得到最终结果为-4，(2)应用行列式的性质简化计算得到3abc - a³ - b³ - c³，(3)进一步运用立方差公式得到(a - b)(b - c)(c - a)，(4)则需将行列式重新排列并展开得到-2(x³ + y³)。 第二章 矩阵及其运算 矩阵是线性代数的核心工具，可以表示线性变换、系统方程等。这部分习题可能涵盖矩阵的加减、乘法、逆矩阵、转置以及行列式等运算。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 初等变换是解线性方程组的有效手段，通过行变换可以将系数矩阵化简为阶梯形或最简行阶梯形，从而求解线性方程组。这部分习题可能涉及矩阵的初等行变换、秩以及线性方程组的解的性质。 第四章 向量组的线性相关性 向量组的线性相关性和线性独立性是线性代数的关键概念，它们决定了向量组能否用更少的向量来表示。这部分习题可能要求判断向量组的线性相关性，并进行向量的线性组合。 第五章 相似矩阵及二次型 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量，且它们对应的线性变换在适当的基下是相同的。二次型是自变量的二次多项式，通过对角化或配方法可以将其转换为标准形式，便于分析其性质。 通过这些习题的解答，学生不仅可以检验自己的学习效果，还能深化对线性代数基本理论的理解，提高解决实际问题的能力。同时，黄正华鼓励读者分享好的解题方法，促进学术交流和学习进步。