分数阶Langevin方程卷积算法数值分析与稳定性

"一类分数阶Langevin方程卷积算法的数值分析，蒲琳涓，杨晓忠，孙淑珍，华北电力大学数理学院，分数阶微分方程，卷积算法，收敛性，稳定性，数值试验" 本文主要探讨了一类引入分数阶算子的Langevin方程，这是一种具有时间记忆效应的特殊动态系统模型。Langevin方程通常用于描述物理系统中的随机过程，如布朗运动和量子力学中的随机动力学。在经典形式中，Langevin方程涉及整数阶微分，但引入分数阶算子后，能够更好地模拟物理现象中的长期依赖性和非局部效应。 分数阶微分方程（Fractional Differential Equations, FDEs）是数学中的一个重要分支，它扩展了传统微积分的概念，允许导数的阶数取任意实数或复数。这种扩展使得FDEs在处理具有长期记忆或渐近行为的复杂系统时特别有用。在本研究中，分数阶Langevin方程被用来模拟那些在时间上非瞬态响应的物理过程。 为了解决这类分数阶Langevin方程，研究者采用卷积算法。卷积算法是一种有效的数值方法，特别是在处理涉及历史依赖的方程时。它通过计算函数与其自身或特定核函数的卷积来近似分数阶导数。卷积算法的核心在于其数学结构与分数阶算子的定义紧密相关，可以有效地转化为线性代数问题进行求解。 文章中对卷积算法进行了收敛性和稳定性的分析。收敛性是指数值解随网格步长减小而趋近于真实解的性质，而稳定性则是指解对于输入数据或参数变化的敏感度。这两点是评估数值方法优劣的关键指标。理论分析和数值试验的结果都表明，所提出的卷积算法在解决分数阶Langevin方程时具有良好的收敛性和稳定性，这意味着该方法不仅能够提供准确的解，而且在计算过程中对参数变化有很好的鲁棒性。 此外，研究还包含了数值试验，通过比较理论解和数值解的误差，进一步验证了卷积算法的效率和可靠性。这些数值试验对于理解和优化算法的性能至关重要，同时也为实际应用提供了坚实的理论基础。 蒲琳涓、杨晓忠和孙淑珍的研究工作深入到分数阶微分方程的数值求解领域，他们提出的卷积算法为处理分数阶Langevin方程提供了一种有效且稳健的工具。这不仅深化了我们对分数阶动力学系统理解，也为相关领域的工程问题和科学计算提供了新的方法。