Matlab实现函数最佳平方逼近的二、三次多项式求解

本资源是一份关于MATLAB中最佳平方逼近方法的详细教程，由任兵编写，针对数值分析中的一个实践问题进行讲解。问题的核心是求解函数f(x) = exp(x)在区间[-1,1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。最佳平方逼近是指寻找一个多项式，使其在指定区间内的平方误差最小。 首先，问题的数学背景是基于教材定义6.5，该定义指出最佳平方逼近函数S*(x)是通过找到一组特定系数a0, a1, ..., an，使得多项式S*(x)与原函数f(x)的差的平方积分在给定集合中达到最小。具体来说，目标是找到这些系数，使得函数 I(a0, a1, ..., an) = ∫[b-a]^2 f(x) - S*(x) dx 取得极小值。因为I(a0, a1, ..., an)是关于这些系数的二次函数，所以要找到极小值，就需要解出使得I的梯度等于零的方程组。这对应于多元函数的极值条件，即对每个k（0, 1, ..., n），导数∂I/∂ak = 0。 根据教材给出的步骤，方程组可以表示为： 0 = ∫[b-a] (f(x) - k * a_k * f_j(x)) dx 其中，j 表示多项式的项，k 是系数，f_j(x) 是多项式的第j项。将这个方程组用矩阵形式表示，得到的是一个(n+1)阶的线性代数问题，矩阵和向量的形式如下： 0 = [f_0 - f_1 a_1 - f_2 a_2 ... - f_n a_n] [f_0 b - f_1 a_1 - f_2 a_2 ... - f_n a_n] ... [f_0 (n-1)b^(n-1) - f_1 (n-1)a_1*b^(n-1) - f_2 (n-1)a_2*b^(n-1) ... - f_n (n-1)a_n*b^(n-1)] 解决这个线性方程组，可以使用MATLAB中的相关函数，如`linsolve`或`mldivide`，来计算出最佳的多项式系数，从而得到最佳平方逼近多项式S*(x)。这对于数值分析和工程应用中的函数拟合具有实际价值，可以帮助简化复杂函数的行为并进行精确的近似。