北京大学ACM课程：线段树与树状数组详解

"北京大学暑期课程《ACM/ICPC竞赛训练》中讲解了数据结构线段树和树状数组，重点介绍了线段树的概念、构造方法和应用。" 线段树是一种用于高效处理区间查询和更新的数据结构，尤其在ACM/ICPC算法竞赛中有着广泛的应用。线段树的本质是一棵特殊的二叉树，每个节点代表一个区间或线段，而这些线段在树的同一层级上不会重叠，并且它们的并集构成了一个连续的区间。 线段树的构建有以下几个关键特点： 1. 叶子节点：线段树的叶子节点代表的是长度为1的区间，即单个整数，无法再进一步细分。 2. 非叶节点：每个非叶节点表示的区间由其两个子节点的区间组合而成。如果一个节点的区间为[a, b]，那么其左子节点表示的区间为[a, (a + b) / 2]，右子节点表示的区间为[(a + b) / 2 + 1, b]，这里的除法都是向下取整。 3. 层次关系：线段树的深度与根节点所表示的区间长度有关，深度为log2(b - a + 1) + 1（向上取整）。 4. 节点度数：线段树的每个节点要么没有子节点（即叶子节点），要么有两个子节点。这遵循二叉树的性质，使得线段树的总结点数为2N - 1，其中N是叶子节点的数量。 线段树的主要操作包括： 1. 查询：查找区间内的特定信息，如区间内元素的和、最大值或最小值等。 2. 更新：对区间内的元素进行修改，如增加、减少或替换值。 以区间[1,9]的线段树为例，要分解区间[2,8]，会找到所有完全包含在[2,8]内的节点作为“终止”节点。这些终止节点的区间不重叠，且它们的并集正好是[2,8]。线段树的分解过程体现了它的效率，通过二分的方法快速定位到相关节点，从而快速完成区间查询和更新。 树状数组（也称 BIT，Binary Indexed Tree）是另一种处理区间查询和更新的数据结构，它以数组的形式存储数据，同样可以高效地实现上述操作。与线段树相比，树状数组的构造和操作更简单，但在某些情况下可能效率稍逊。 线段树和树状数组都是ACM/ICPC竞赛中解决动态区间问题的重要工具，掌握它们的原理和使用方法对于提升算法竞赛的表现至关重要。