估计Hilbert矩阵∞范数条件数的数值方法与误差分析

在数值代数作业1中，吴秉哲（学号1200010666）针对第二章的习题1进行了深入研究，目标是估计5到20阶Hilbert矩阵的∞范数条件数。Hilbert矩阵是一种特殊的矩阵，其元素由1/(i+j-1)组成，具有高度的病态性，即伴随矩阵的条件数κ(矩阵)=∥A^(-1)∥_∞×∥A∥_∞非常大。这里使用了书中的算法5.12来估算矩阵的1范数，这是一种间接方法来估计条件数。 作业的核心任务是求解方程组HT_nω=x和Hnz=υ，其中H_n是Hilbert矩阵，ω和z是未知向量。通过选列主元的Gauss消元法求解这两个方程组，以得到H_n^-1的估计值。然而，由于矩阵的病态性，求解过程中可能会出现较大的误差，因此需要借助Matlab中的内置函数如inv()和norm()进行验证。然而，当矩阵阶数n较大时，这些函数的计算结果误差也相应增加，因为它们可能无法准确捕捉到矩阵逆的精确值。 为了评估估计的准确性，吴秉哲将算法5.12估算的范数与inv()函数直接求得的H_n^-1的范数进行了对比。同时，他注意到H_n的∞范数计算相对简单，误差较小，所以他直接计算了κ_n，即H_n^-1的∞范数除以H_n的∞范数。结果显示，随着阶数n的增长，估计的条件数κ_n呈现出逐渐增大的趋势，且当n超过10时，误差开始显现，表现为正负偏差。 值得注意的是，当阶数n从13阶开始，误差率显著增大，这可能是由于病态性加剧或算法误差累积导致的。这个结果提醒我们，在处理高度病态的Hilbert矩阵时，需要谨慎对待估计值，并寻找更为精确的方法，例如迭代方法或者更高级的数值稳定性技术，以提高计算的准确性和可靠性。此外，该作业展示了如何在实际问题中应用数值线性代数理论，以及如何通过实验验证和误差分析来理解和改进算法。