分数阶微积分下Weierstrass函数的分形维数研究

本文主要探讨了一类特殊的函数——经典的Weierstrass型函数的扩展，将其函数项扩展为一般的李卜希兹连续周期函数。作者特别关注了当指数参数α大于或等于1的情况，研究了这类函数及其分数阶微积分函数的行为。研究发现，原函数W(t) = ∑_{n=1}^∞ λ^{-α_n} f(λ^nt)的分形维数在这样的条件下恒为1，这是一个重要的理论成果。同时，作者还给出了分数阶微分函数图像的维数上下界估计，这进一步深化了对分数阶微积分函数性质的理解。 分形维数，尤其是Hausdorff维数、K-维数和Box维数，在分形几何的研究中占据核心地位。通过对这些维度的分析，文章揭示了分数阶微积分函数与常规微积分函数在分形特性上的差异和联系。文献[1]和[2]分别探讨了Weierstrass型函数的分形维数以及分数阶微积分的性质，而本文则在此基础上进行了拓展，引入了更广泛的函数类型。 作者使用了特定的数学符号和定义，如Rf［t1，t2］表示函数在区间[t1，t2]内的振幅，Γ(f，I)表示函数f在集合I上的图像。通过Matlab的图形工具，作者直观地展示了不同α值下函数图像的变化，这对于理解抽象的数学概念至关重要。 文章的结论部分总结了主要的结果，并给出了定理1的陈述，该定理可能是关于分数阶微积分函数分形维数的精确计算或性质表述。尽管具体内容未在摘要中详细说明，但可以推测定理1可能提供了一个关于分数阶微分函数分形维数的精确条件或者证明方法，这对于深入理解分数阶微积分在分形几何中的应用具有重要意义。 这篇文章不仅提升了我们对分数阶微积分函数分形特性的认识，而且也为后续研究提供了新的视角和方法，尤其是在处理更复杂函数形式和指数参数范围时。这一领域的深入研究对于理论物理学、工程学以及计算机科学等领域都有着潜在的实际应用价值。