非凸二次规划全局最优性条件：二次等式约束问题

"二次等式约束非凸二次规划问题的全局最优性条件" 本文探讨的是一个在数学优化领域的重要问题——二次等式约束下的非凸二次规划问题。在优化理论中，二次规划是一种特殊形式的优化问题，其目标函数是二次函数，约束条件可以包括等式和不等式。非凸二次规划意味着目标函数或约束不是凸函数，这增加了找到全局最优解的难度。 文章由王杉林撰写，他是兰州大学数学与统计学院的研究者。他利用全局次微分（L-次微分）的概念来研究这个问题。全局次微分是微分几何和非光滑分析中的一个重要工具，它能够处理非凸函数的局部性质，特别是在寻找全局极值点时非常有用。 该问题的形式如下： \[ \text{minimize} \quad f(x) = x^TAx - b^Tx \] \[ \text{subject to} \quad g(x) = x^TBx - \beta = 0 \] \[ h(x) = x^TCx - \gamma = 0 \] 其中，\( A, B, C \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，\( b, \beta, \gamma \) 是常数向量。问题的目标函数 \( f \) 和两个约束函数 \( g, h \) 都是二次的，且受到二次等式的限制。 在已有的研究中，当 \( A \) 是正定矩阵时，这个问题已有深入研究。然而，如果 \( A \) 只是半正定，或者约束条件更复杂时，找到全局最优解的条件就变得更加复杂。王杉林在此基础上，利用L-次微分理论，为这个问题建立了一个全局最优性条件。 文章提出了三个假设来简化问题。首先，假设存在至少一个全局最优解在可行域内。其次，排除了\( \beta^2 + \gamma^2 = 0 \)的情况，以避免特殊情况。最后，假设约束条件是正则的，这是保证优化问题有解的基本条件。 在非凸优化问题的全局最优性条件部分，文章引用了先前的工作，并基于L-次微分的概念，给出了一个一般性的全局最优解的充分条件。这个条件不仅考虑了目标函数的性质，还考虑了拉格朗日乘子与约束的关系，为解决这类问题提供了一种新的方法。 此外，文中使用的符号包括\( n \)-维欧式空间\( \mathbb{R}^n \)，非负子空间\( \mathbb{R}^n_+ \)，实对称矩阵集合\( S^n \)，以及一些矩阵操作，如半正定矩阵的表示等。 这篇论文对于理解和解决具有二次等式约束的非凸二次规划问题提供了理论基础，对于实际应用中的优化问题，如工程设计、经济模型和数据分析等领域，有着重要的参考价值。