欧拉路径与LeetCode重排行程：算法详解与实例

欧拉路径问题在图论中是一个经典问题，它关注的是找出一个图中所有顶点都被访问一次且每条边恰好使用一次的路径。在LeetCode上，问题"Reconstruct Itinerary"（重构行程）与欧拉路径问题有所关联，但实际上是关于飞机旅行的重新排序问题，其中航班的起降顺序可以被重新排列以形成有效的行程。 问题概述： 欧拉路径在无向图中表现为"一笔画"问题，即存在一条简单的路径，经过所有边恰好一次。对于有向图，需要满足以下条件：1）图必须是连通的，没有孤立的顶点；2）若图是无向的，所有顶点的度数（入度+出度）应为偶数，除非有两个顶点的度数为奇数（为0或2）；3）若图是有向的，所有顶点的入度和出度相同，或者仅两个顶点的入度比出度多1或少1。 算法思想： 主要介绍的是Hierholzer算法，它适用于寻找连通图中的欧拉路径。算法步骤如下： 1. **判断起点**：无向图中，若没有度数为奇数的点，则任选一个作为起点；如果有两个，选其中一个。有向图中，选择入度比出度小1的点作为起点。 2. **深度优先搜索**：从起点开始，对每个相邻节点递归，删除已使用的边，递归处理下一个节点。 3. **回溯**：遍历完所有节点后，将路径节点放入队列中，因为答案是倒序产生的，所以需要倒序输出。 4. **特殊情况处理**：在有向图中，入度与出度差为1的节点是路径结束的标志，因为它是唯一导致"死胡同"的节点。 LeetCode中的"Reconstruct Itinerary"问题： 实际题目并非直接求欧拉路径，而是要求重新安排飞机航班的起降顺序，使得行程能够顺利进行。虽然表面上看起来与欧拉路径类似，但实际上是基于图的边和顶点关系（即航班的起始点和终点），利用DFS或其他搜索策略（如拓扑排序）来找到可能的重新排序方案。 性能分析： Hierholzer算法的时间复杂度通常为O(V+E)，其中V是顶点数，E是边数。这是因为算法需要遍历每个顶点和边一次。然而，对于"Reconstruct Itinerary"问题，由于需要处理所有可能的航班顺序，时间复杂度可能会随着输入规模的增大而呈指数级增长，具体取决于算法实现和优化策略。 总结： 欧拉路径问题与LeetCode中的"Reconstruct Itinerary"虽然看似不同，但在处理图的结构和路径问题上有一定的相似性。理解欧拉路径的条件和算法可以帮助我们在解决实际问题时，比如航班调度，找到合适的策略。在实际应用中，理解问题本质并选择恰当的算法是关键。