柯西积分公式详解：解析函数的圆周平均值与应用

在浙江大学数学科学学院的“2016-2017学年秋学期《复变函数与积分变换》”课程中，讲师林智(linzhi80@zju.edu.cn)讲解了复变函数领域的核心内容——柯西积分公式。这一公式在第三章§3.3中有详细的阐述。柯西积分公式对于理解和计算复分析中的积分问题至关重要，它指出： 1. **推论1**：当积分路径C为圆周z = z0 + Reiθ，柯西积分公式表明，一个解析函数f(z)在圆心z0的值等于该函数在圆周上取值的平均值，即： \[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{0}^{2\pi} f(z_0 + Re^{i\theta}) \cdot Re^{i\theta} d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0 + Re^{i\theta}) d\theta \] 这个公式揭示了解析函数在特定点的性质与其在整个圆周上的值之间的关系。 2. **推论2**：进一步地，如果函数f(z)在给定的二连域D内解析且边界上连续，那么任何内部点z0的函数值可以用沿边界C和C1的积分来表示，表达式为： \[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz - \frac{1}{2\pi i} \oint_{C1} \frac{f(z)}{z - z_0} dz \] 这个公式强调了复变函数的解析性在求解边界值问题中的作用，以及如何通过积分来确定函数在区域内的行为。 复变函数课程旨在培养学生对复数域上函数的理解，包括其理论基础、概念和应用技巧。课程要求学生掌握复变函数的基本理论，并通过例题和习题提高抽象思维、逻辑推理和运算能力。教材推荐《复变函数与积分变换》第三版（金忆丹、浙江大学出版社）和《复变函数》（钟玉泉、高等教育出版社），这些教材是深入学习的关键资源。课程教学安排包括每周的固定时间和答疑时间，以及明确的考核标准，包括作业、期中随堂测验和期末考试。整体而言，柯西积分公式是复变函数教学中的重要组成部分，它展示了复分析在解决实际问题中的实用价值。