线性代数精讲：排列、行列式及其性质

"线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量、矩阵和线性映射等概念及其相互关系。在本知识点总结中，我们将探讨排列、行列式及其性质，这些都是线性代数基础中的关键概念。" 1、排列： 排列是线性代数中的基本概念，它指的是由1到n的一个有序数组。例如，一个三级排列可以是123、132等。自然排列是指1,2,3...n的顺序，其逆序数为0。逆序是指在一个排列中，较大的数字出现在较小数字之前的情况。例如，4123的逆序数是4，因为4后面有3个比它小的数，2后面有1个，而1和3后面没有。逆序数的奇偶性决定了排列是偶排列还是奇排列，一次变换会改变逆序数的奇偶性。 2、行列式： 行列式是一种新的运算方式，它可以用于确定矩阵的一些特性。行列式可以通过两种方式展开：①按行或列展开，其中行标按照标准排列，列标取所有可能的排列，元素乘积的符号由排列的逆序数决定。②利用代数余子式展开，行列式等于任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和。代数余子式是元素aij的余子式Mij乘以(-1)^(i+j)，其中余子式是删除aij后剩余的(n-1)阶行列式。 3、行列式的性质： - 性质1：行列式与其转置行列式相等。 - 性质2：互换行列式的两行，行列式变号，即行列式的值变为原来的负值。 - 性质3：如果行列式中有两行元素完全相同，则该行列式值为0。 - 性质4：行列式中某一行所有元素乘以常数k，等于k乘以原行列式。 - 推论1：某一行的公因子可以提到行列式记号之外。 - 推论2：行列式可以因式分解，如k倍的行列式等于k乘以原行列式。 - 性质5：若行列式中有两行成比例，则行列式为0。 - 性质6：当某一行元素是两数之和时，行列式可以拆分为两个行列式的和。 这些基础知识对于理解和应用线性代数至关重要，它们在解决线性方程组、特征值问题、线性空间的性质等方面都有广泛的应用。理解并掌握这些概念，是进一步学习线性代数及后续高级数学课程的基础。