FFT算法详解：线性卷积与重叠相加/保留法

本资源主要聚焦于"计算线性卷积"这一核心概念，通过实验和理论相结合的方式深入理解其原理和应用。首先，实验目标包括掌握FFT（快速傅立叶变换）在计算线性卷积中的关键作用，以及重叠相加法和重叠保留法这两种常用分段卷积策略。FFT在这里扮演了关键角色，它将线性卷积转换为圆周卷积，利用频域中的乘法规则简化计算，提高了效率。 线性卷积是信号处理中的一种基本操作，它描述了两个序列通过逐个对应相乘并求和得到的新序列。线性卷积的结果长度等于原序列的长度之和减一。而圆周卷积则是将序列绕一圈进行连接后再进行卷积，只有在满足特定条件下（即序列长度为N的倍数）圆周卷积才会与线性卷积相同。 快速卷积算法利用FFT的特性，通过对序列进行补零扩展到N点，然后分别计算它们的DFT，接着在频域进行乘法，最后通过反FFT得到线性卷积的结果。这种方法大大减少了计算时间，尤其适用于长序列的卷积计算。 分段卷积则是针对长输入序列的存储和计算效率问题提出的，当输入过长时，一次完整的卷积会导致延迟和大存储需求。重叠保留法和重叠相加法是两种常见的分段卷积方法。重叠保留法通过将输入序列分成多个子段，每个子段与滤波器h(n)进行圆周卷积，然后丢弃错误的首部分，仅保留有效输出部分，最终合并得到完整输出。而重叠相加法则在计算过程中直接将相邻子段的结果相加，无需丢弃部分样本。 这个资源旨在帮助学习者熟练掌握如何运用FFT进行快速且精确的线性卷积计算，理解不同方法的适用场景，并能在实际工程中灵活应用这些技术。这对于信号处理、通信系统设计、图像处理等领域都有着重要的意义。