梯度法求解非线性方程组的C语言实现

"这篇资源提供了一种使用梯度法求解实系数非线性方程组根的方法，结合了C语言编程实现，并涉及到牛顿法作为优化子程序。梯度法，又称最速下降法，旨在通过最小化目标函数来找到方程组的解。在该方法中，通过不断迭代和修正，最终达到满足预设精度要求的解。程序通过Turboc2.0编译，提供了一个包含三个非线性方程的实例。" 梯度法是一种广泛应用于优化问题的数值方法，特别适用于寻找函数的局部最小值。在求解非线性方程组时，它首先将问题转换为非线性最小二乘问题，即构建一个目标函数f，使得该函数在方程组的根处取得最小值。目标函数通常是由方程的残差平方和组成的，即f的最小值对应于方程解的点。 对于非线性方程组 (7-15)，梯度法的计算过程如下： 1. 初始化：选择一组初值 ，通常不是方程组的解。 2. 计算目标函数f的值。这需要一个单独的子程序来计算所有方程的残差并求其平方和。 3. 如果在某一步迭代中，目标函数的改变量小于预设的收敛精度（如10^-6至10^-8），则认为找到了一组满足要求的解。 4. 否则，使用梯度下降原理进行修正。根据梯度的反方向（因为梯度指向函数增加的方向），更新解的值。修正公式为 ，其中g是目标函数的梯度，H是控制收敛速度的常数。 牛顿法在此作为梯度法的一个辅助子程序，它在迭代过程中用于更精确地估计解的下一步。牛顿法通过构建并求解目标函数的泰勒展开式近似矩阵来找到新的搜索方向。 给出的C语言程序示例`grad1.c`展示了如何实际实现这个算法。程序定义了三个非线性方程，并在主函数中调用牛顿子程序`newton`进行迭代求解。`fn`函数用于计算目标函数的值，即所有方程的残差平方和。程序还设定了精度要求`eps`，以判断何时停止迭代。 在实际应用中，梯度法可能需要多次迭代才能达到收敛，尤其是在多维空间中，由于梯度方向可能不是全局最优的搜索方向，可能会导致收敛速度较慢。尽管如此，梯度法因其简单和直观的性质，仍然是解决这类问题的常用工具，特别是在大规模问题或与其他优化策略结合使用时。