现代数论与环理论概论

"《Advanced Algebra》是一本深入探讨高等代数的教材，由Anthony W. Knapp编写。这本书包括了从基本数论到抽象代数的多个重要领域，如历史背景、二次互反律、模形式、Wedderburn-Artin环理论、布劳尔群、同调代数、代数数论的三大定理、有理数域上的无限域扩张、代数几何的基础知识以及代数曲线的数论。书中还涉及了p进数、离散估值、完备化、全局和局部域、阿德尔和理想等内容。该书旨在为读者提供一个全面而深入的代数学习框架，适合高年级本科生和研究生阅读。" 《Advanced Algebra》分为十个章节，覆盖了从古典数学到现代代数的关键概念： 1. 历史背景：介绍代数的发展历程，为后续的理论奠定基础。 2. 二次互反律：阐述二次互反定律这一数论中的核心定理。 3. 模形式：研究二次形式的等价与简化，以及与理想的关联。 4. Wedderburn-Artin环理论：讨论半单环和Artin定理，探讨环的结构。 5. 布劳尔群：定义布劳尔群的概念，展示其在代数结构中的作用。 6. 同调代数：介绍同调理论的基本概念，如复形、加性函子和衍生函子。 7. 代数数论的三大定理：涵盖判别式、戴德金判别定理、类数的有限性等。 8. 有理数域上的无限域扩张：讨论代数扩张的性质，如分离性和纯不分离性。 9. 代数几何背景：包括历史起源、结果式、Bezout定理，以及曲面的相交多重性。 10. 代数曲线的数论：探讨代数曲线上的除子、曲率和黎曼-罗赫定理的应用。 每个章节后都配有习题，供读者加深理解和练习。此外，书中还包括对相关数学分支的简要介绍，如群的共中心化器定理、分次共轭理论、格罗布纳基和多项式方程的构造性解法。 这本书是 Anthony W. Knapp 的“Cornerstones”系列之一，旨在为读者提供坚实的代数理论基础，并引导他们进入更高级的数学研究。通过阅读此书，读者可以全面掌握高等代数的基本原理，为进一步探索代数、数论和代数几何等领域打下坚实基础。