常微分方程数值解法探究及航天应用

"常微分方程数值解法及其应用，涉及欧拉算法、改进欧拉算法，以及在航天测控领域的轨道计算应用" 常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）广泛应用于自然科学与工程领域，用以描述许多现象的动态行为。在无法得到解析解的情况下，数值解法成为求解常微分方程的主要手段。这篇由倪兴撰写，张韵华指导的硕士学位论文深入探讨了常微分方程数值解法，特别是针对初值问题的解法。 欧拉法是最早被提出的数值解法之一，它是一种简单但直观的方法，通过连续小步长的近似来逼近原方程的解。然而，欧拉法的精度相对较低，为了改进这一情况，出现了改进欧拉法，也称为半隐式欧拉法，它在每一步中考虑了前一步和当前步的函数值，从而提高了计算精度。 梯形法，又称辛普森法，是一种二阶精度的数值积分方法，相比欧拉法能提供更好的近似。而p-方法则是一类基于多项式插值的数值解法，通过构造高阶多项式来逼近真实解。向后欧拉法是一种单步隐式方法，适合处理稳定性问题，尤其对于刚性方程（那些具有不同时间尺度的解的方程）表现良好。 Runge-Kutta方法是一组广泛应用的数值解法，包括经典的四阶Runge-Kutta法，它具有较高的精度和良好的稳定性。此外，Adams多步法是一种预测-校正方法，它可以利用前几步的信息来提高解的精度，特别适用于长时间的模拟。 论文中还简要讨论了常微分方程的符号解，即寻求解析形式的解，尽管这在大多数情况下是困难的。通过对数值解法的历史回顾和实例比较，论文提供了对各种方法优缺点的理解。最后，作者将这些数值解法应用到航天测控的轨道计算中，展示了数值解法在实际问题中的有效性。 关键词涉及的“数值解法”、“初值问题”、“刚性方程”和“符号解”指出了研究的核心内容，“定轨”则表明了常微分方程数值解在航天轨道预测中的重要应用。这篇论文全面地探讨了常微分方程数值解的理论与实践，对于理解和应用这些方法具有重要的参考价值。