2012年Newton-LHSS后退法：全局收敛与非线性方程组求解

本文主要探讨了"Newton-LHSS后退方法及其全局收敛性的研究"，发表在2012年的《河南大学学报（自然科学版）》第42卷第6期。作者王洋来自吉林师范大学数学学院，他基于倾向一侧的HSS（LHSS）方法，提出了针对非线性方程组的新型求解策略——Newton-LHSS后退方法（NLHSSB）。LHSS是一种特殊的分解技术，它将非对称正定的Jacobian矩阵F'(x)通过对称/反对称分裂处理，以提高计算效率。 NLHSSB方法的核心是结合了经典的Newton迭代与LHSS技术，通过后退线搜索策略来调整步长，确保全局收敛性。这种方法的关键在于处理非线性系统的不精确性，即使在初始解附近存在误差，也能保证算法能够稳定地向解逼近。作者不仅理论分析了这种方法的数学原理，还给出了关于NLHSSB全局收敛性的严谨证明。 在实际应用中，大型稀疏非线性代数方程组F(x) = 0是本文讨论的主要对象，其中F(x)在开凸区域D上连续且可微。已有的研究表明，对于这类问题，传统的数值求解方法已经取得了显著的成果，但NLHSSB方法的独特之处在于其结合了高效性和全局收敛性的优点，这在处理大规模和稀疏系统时尤为突出。 通过数值实验，作者证实了提出的NLHSSB方法不仅在理论上有效，而且在实际计算中表现出良好的正确性和稳定性。这表明该方法具有广泛的适用性和实际价值，对于解决现代科学工程中的复杂优化问题具有重要的指导意义。这篇论文为非线性方程组求解提供了一种新的、有前景的算法，有助于提升数值计算的效率和可靠性。