张量分解基础：CP分解详解

"CP分解-张量分解ppt" 在数学和计算领域，张量分解是一种高级的数学工具，广泛应用于数据分析、机器学习、信号处理和物理建模等多个领域。本资料主要介绍了张量分解中的一个重要方法——CP分解，以及相关的基础知识。 首先，张量（tensor）是一个多维数组，可以理解为向量和矩阵的推广。一阶张量代表向量，二阶张量对应矩阵，而三阶或更高阶的张量则更为复杂。张量的阶数表示构成该张量的向量空间的数量。例如，一阶张量（向量）有1个向量空间，二阶张量（矩阵）有2个，以此类推。 张量空间是由多个向量空间中的基底外积所张成的空间，而张量的纤维是指张量在某一模式下的“线性”部分，例如，mode-1纤维对应于列，mode-2纤维对应于行，mode-3纤维对应于“管”。切片则是指张量在特定维度上的截取，包括水平切片、侧面切片和正面切片。 张量的内积和范数是衡量张量之间相似度和大小的重要概念。Frobenius范数是张量所有元素平方和的平方根，而内积则是将张量元素对应位置相乘后求和。这些运算对于理解和操作张量至关重要。 秩一张量（rank-one tensor）是指可以表示为N个向量外积的张量。例如，三阶秩一张量可以写为三个向量的外积。秩一张量的概念是CP分解的基础。 CP分解（Canonical Polyadic Decomposition）是将高阶张量分解为一系列秩一的张量之和，每个秩一的张量对应一组因子向量的外积。这种分解形式化地表示为： \[ X = \sum_{r=1}^{R} a_r \circ b_r \circ c_r \] 其中，\( R \) 是分解的秩，\( a_r, b_r, c_r \) 是对应的因子向量，\( \circ \) 表示外积操作。CP分解在实际应用中常用于数据压缩、协同过滤推荐系统、图像处理等领域。 超对称性和超对角是张量的特殊性质。超对称张量是指其元素在下标任意排列下保持不变，而超对角张量则是指其非对角线元素都为零，只在特定位置上有非零值。展开（matricization）是将张量转换为矩阵的过程，有助于进一步处理和分析张量数据。 张量分解和CP分解是理解和操作多维数据的强大工具，它们在现代数据科学中发挥着不可或缺的作用。通过掌握这些概念和方法，我们可以更有效地处理复杂的数据结构，挖掘隐藏的模式和关联。