模型阶次确定方法：Hankel矩阵法

"第九章 模型阶次的确定 在系统辨识领域，模型阶次的确定是一项至关重要的任务。在建立数学模型来描述实际系统的动态行为时，我们通常会假设模型的阶次是已知的。然而，在很多实际应用中，系统的阶次可能无法直接通过理论推导得出，这时就需要运用特定的方法来识别模型的阶次。本章将介绍几种常用的技术，包括Hankel矩阵法、行列式比法定阶以及基于残差方差的模型阶次估计。 一、Hankel矩阵法 Hankel矩阵法适用于单输入单输出（SISO）系统，尤其适用于确定脉冲响应序列的参数模型阶次。这种方法依赖于构建一个Hankel矩阵，该矩阵由系统的脉冲响应序列构成。具体步骤如下： 1. 假设我们有一组脉冲响应序列 {g1, g2, ..., gk}，这些序列组成一个L×L的Hankel矩阵Hlk，其中L是任意整数，用于决定Hankel矩阵的大小，而k是可能的模型阶次。 2. 当系统的实际阶次为n时，Hankel矩阵的秩rank(Hlk)等于n。这是因为对于可控可观的SISO系统，其Hankel矩阵的秩反映了系统的状态维度。 3. 为了证明这一点，我们需要考虑系统的可控性和可观测性。如果系统的可控矩阵和可观测性矩阵的秩都是n，那么增加更多的观测数据（脉冲响应序列）不会改变这两个矩阵的秩，因为它们已经包含了足够的信息来描述系统的行为。 4. 最后，可以通过计算Hankel矩阵的秩并与已知的最小阶次比较，来确定最合适的模型阶次。当rank(Hlk) ≥ n时，我们可以认为模型阶次至少为n。 二、行列式比法定阶 行列式比法定阶是另一种确定模型阶次的方法。这种方法基于观察到的系统数据，通过比较不同阶次模型的残差平方和（残差是模型预测值与实际观测值之间的差异）的行列式。当增加模型阶次时，如果残差平方和的行列式比率显著下降，这可能表明增加的阶次是有意义的。通过寻找这个比率的最小值，可以确定最优的模型阶次。 三、残差的方差估计 残差的方差也可以用来估计模型的阶次。基本思想是，随着模型阶次的增加，残差的方差应该逐渐减小。当增加阶次对残差方差的影响不再显著时，就达到了合适的模型阶次。这种技术通常与信息准则（如AIC或BIC）结合使用，以平衡模型复杂度和拟合优度。 总结来说，系统辨识中的模型阶次确定是一个涉及数据处理、矩阵理论和统计分析的综合问题。选择合适的方法取决于具体的应用场景和可用的数据。通过Hankel矩阵法、行列式比法定阶和残差方差估计，我们可以更准确地确定描述复杂系统动态行为的数学模型的阶次，从而提高模型的预测能力和解释能力。