北航数值分析实习：牛顿迭代法与曲面拟合求解

本次北航数值分析第三次大作业围绕研究生数值计算实习展开，主要涉及四个关键的算法和数学方法：牛顿迭代法、分片二次代数插值法以及最小二乘法曲面拟合法。作业的核心任务是解决一个实际问题，即对给定的一组数据，通过牛顿迭代法求解线性方程组，进而使用这些解来构建函数的数值表。 首先，作业要求使用牛顿迭代法求解特定方程组，该方程组由两个二维图形（[pic]）的数据点构成，总共有11行21列的数据。牛顿迭代法是一种常用的数值优化方法，它通过迭代逼近函数的根，对于非线性问题尤其有效。学生需针对每组数据点，利用牛顿迭代法逐步逼近方程组的解，得到一组与给定图形相关的坐标的值。 接着，得到的这些解被用于分片二次代数插值法，这是一种多变量函数的数值近似方法。通过这些坐标和对应的数值，学生将构建一个关于[x, y]的函数z=f(x, y)的数值表。分片二次代数插值法通过对每个子区域使用二次多项式来近似函数值，确保了在插值区域内的精度。 然后，作业引入了最小二乘法曲面拟合。随着变量k的递增，学生会应用最小二乘法来拟合z=f(x, y)的曲面，每次拟合后都会得到新的函数表达式。最小二乘法是一种统计学方法，通过最小化残差平方和来找到数据的最佳拟合模型，这对于数据拟合和误差分析至关重要。 最后，作业要求计算并输出[pic]的值，以此评估拟合曲面与原始数据的接近程度。通过比较[pic]的值和[pic]的期望值，可以衡量拟合质量，从而验证牛顿迭代法和最小二乘法的适用性和准确性。 源程序中提供了关键的gauss函数，用于求解线性方程组，以及A_ni函数，用于求解矩阵的逆，这两个函数是整个过程中的基础工具。整个作业要求学生深入理解并熟练运用数值分析中的这些核心算法，以解决实际问题，同时提升编程和数学建模的能力。 这次大作业涵盖了数值分析的基本技能，包括数值解算、函数插值和数据拟合，对学生理论知识和实践能力都有较高的要求。完成作业不仅有助于巩固理论知识，还能培养独立思考和问题解决的能力。