高阶奇异值分解视角下的多维对应分析扩展

"这篇研究论文探讨了如何利用高阶奇异值分解（HOSVD）的几何框架将对应分析（Correspondence Analysis, CA）扩展到多维数据集。作者是Olivier Coulaud、Alain Franc和Martina Iannacito，隶属于HiePACS和Pleiade项目团队。报告发布于2021年11月9日，由法国Bordeaux-Sud-Ouest的研究中心出版。" 对应分析是一种常见的数据分析方法，源自主成分分析，主要用于研究列联表数据。它通过降维技术揭示变量之间的关联结构，并在二维图上展示出来，以便直观理解数据分布。然而，传统对应分析主要针对两维或二维数据，对于多维数据集的处理能力有限。 高阶奇异值分解是张量数据分析中的一个关键工具，它可以对多维数组进行分解，提取其中的主要成分。张量可以视为多维矩阵，适合处理多路数据集，如图像、视频或多变量时间序列等复杂数据。 在本文中，作者提出了一种基于HOSVD的新方法，该方法保留了对应分析的几何意义，克服了现有方法忽视几何解释的问题。他们利用Tucker模型和HOSVD来构建一个几何框架，使得对应分析可以应用于多维数据集，从而扩展了其应用范围。Tucker模型是多维数据分析的一种方法，它通过核心张量和一系列因子矩阵来表示原始数据，而HOSVD则提供了这个模型的一个优化版本，可以有效地提取数据的主要结构。 通过这种方法，研究者能够解析多路数据集中的复杂关系，同时保持数据的几何特性，这对于理解和解释多维度数据的模式至关重要。这不仅有助于数据可视化，还能为统计建模、分类和聚类提供更深入的洞察。此外，这种扩展可能对各种领域，如社会科学、生物信息学、图像处理等产生深远影响，因为这些领域经常处理多维和复杂的观测数据。 这篇研究通过引入HOSVD，为对应分析提供了一个强大的新工具，使其能够有效处理和分析多路数据集，拓宽了统计分析的边界，为未来在多维数据探索中提供了新的理论基础和技术支持。