多维Helmholtz方程Cauchy问题的Tikhonov正则化方法

"这篇论文主要探讨了多维度Helmholtz方程的Cauchy问题，采用Tikhonov正则化方法来处理这一在数学和物理领域中常见的逆问题。作者赵秋利和付初黎来自兰州大学的数学与统计学院。他们旨在通过给定的边界函数g在z=1处的信息，求解z=0边界上的解u。由于这是一个病态问题，即使数据g的微小扰动也可能导致解的显著误差。现有的文献主要集中在二维或三维问题上，且大多数情况下的边界稳定性和收敛性理论尚未得到充分推广。该论文通过Tikhonov正则化方法解决了这一问题，并在边界上得到了稳定性估计。数值实验表明，所提出的方法表现良好。关键词包括：逆问题、Helmholtz方程、Tikhonov正则化、误差估计。该研究由国家自然科学基金（No.10671085）和甘肃省自然科学基金（No.3ZS051-A25-015）支持。" Tikhonov正则化是解决逆问题的一种常用策略，特别是当问题存在不稳定性和噪声时。在本文中，它被应用到多维度Helmholtz方程的Cauchy问题中。Helmholtz方程是波动现象，如声波或光波传播的基础模型，其形式为∇²u + k²u = f，其中u是未知函数，k是波数，f是源项。Cauchy问题通常是指给定边界条件的一部分来求解方程，但在这个问题中，数据的不完全性使得问题变得病态。 Tikhonov正则化引入了一个正则化参数α和一个正则化项，以平衡解的精度和稳定性。正则化项通常是对解的光滑度的度量，例如L²范数或L₁范数。通过增加这个额外的项，可以减少由于数据噪声引起的解的剧烈变化，从而改善问题的稳定性。 在多维度情况下，这个问题变得更加复杂，因为需要处理更多的变量和可能的交互。尽管如此，赵秋利和付初黎的工作表明，Tikhonov正则化方法仍然能够有效地应用于这类问题，并能在边界上获得解的稳定性估计。他们的数值测试验证了这种方法的有效性，这意味着在实际应用中，即使面临数据不完整和噪声干扰，也可以得到可靠的结果。 此外，值得注意的是，这篇论文的贡献在于扩展了现有的理论，不仅限于二维或三维问题，而且在边界稳定性和收敛性方面也提供了新的见解。这为处理更高维度的Helmholtz方程的Cauchy问题提供了一种新的工具，对于理论研究和实际应用都有重要意义，特别是在声学、光学以及地震学等领域。