求解最小路径和的算法

"最小路径和问题的算法解析与解答" 最小路径和问题是一个经典的动态规划问题，它在IT技术特别是算法领域中具有重要的地位。这个问题要求我们找到一个二维网格（矩阵）中的最短路径，从左上角到右下角，路径上的数字之和最小。在给定的示例中，我们移动时只能向下或向右，且网格中的每个单元格都包含一个非负整数，表示经过该单元格的代价。 题目描述中提到的两个示例有助于我们理解问题的解决方式： 1. 示例1: 输入的网格是`[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]`，输出为7。这是因为最短路径是`1→3→1→1→1`，路径上的数字之和为7。 2. 示例2: 输入的网格是`[[1,2,3],[4,5,6]]`，输出为12。最短路径是从左上角到右下角的直线下行，即`1→2→3→6`，路径和为12。 为了求解这个问题，我们可以采用动态规划的方法，构建一个二维数组`dp`来存储到达每个位置的最小路径和。`dp[i][j]`表示到达网格中位置`(i, j)`的最小路径和。 初始状态设置如下： - `dp[0][0]`被设置为网格左上角的值，因为这是唯一可能到达的位置。 - 对于第一行（`i=0`），我们从左到右更新`dp[i][j]`，使其等于`dp[i][j-1]+grid[i][j]`，因为只能向右移动。 - 同理，对于第一列（`j=0`），我们从上到下更新`dp[i][j]`，使其等于`dp[i-1][j]+grid[i][j]`，因为只能向下移动。 接下来，对于网格内部的其他位置（`1<=i<rows-1`和`1<=j<columns-1`），`dp[i][j]`的值将是最小的两个相邻路径和之一加上`grid[i][j]`，即`min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])+grid[i][j]`。这是因为到达`(i, j)`的路径要么是从`(i-1, j)`下来，要么是从`(i, j-1)`右移。 最终，`dp[rows-1][columns-1]`将包含整个网格的最小路径和。在提供的C++代码中，这个逻辑被实现为一个名为`minPathSum`的函数，返回了这个值。 总结来说，解决最小路径和问题的关键在于利用动态规划的思想，通过计算到达每个位置的最小路径和，并利用相邻位置的信息进行优化。这种算法适用于解决类似的问题，如寻找最短路径、最小成本等问题，对于理解动态规划和优化问题的解决方案具有很高的价值。