最长上升子序列算法详解与复杂度分析

本资源主要介绍了解题思路28，这是一个关于求解最长递增子序列的问题，常见于算法竞赛和计算机编程挑战。问题背景是根据队伍中成员的身高数据找到最长递增子序列的长度，例如队伍身高为(1、7、3、5、9、4、8)，目标是找出递增子序列如(1、7)、(1、3、5、9)等中的最长长度。 1. 输入描述: 文件提供了多组数据，每组数据的第一行为一个正整数n，表示队员数量，满足1≤n≤1000。接着是第二行，包含n个正整数，代表每位队员的身高，范围1≤m≤10000。 2. 输出描述: 对于每组输入数据，程序需要计算并输出最长递增子序列的长度。例如，对于输入数据7和身高序列1735948，输出结果应为4；对于输入数据6和135246，输出为4。 3. 解题思路: - 该问题可以使用动态规划来解决，两种常见的算法分别是： a. O(n^2)算法：利用一个长度数组len[]和一个后继位置数组next[]来存储信息。len[i]表示以a[i]结尾的最长递增子序列长度，next[i]表示a[i]的后继元素位置。从后向前遍历数组，更新len[]和next[]，寻找最长递增子序列。 b. O(n log n)算法：采用斐波那契堆或二分查找优化，通过动态规划公式F[t] = max(F[x]+1)来计算以A[t]结尾的最长上升子序列长度，其中x满足条件A[x] < A[t]。这种方法减少了查找过程中的比较次数。 4. 动态规划算法的关键在于构建状态转移方程，并利用已知信息逐步推导出最优解。在O(n^2)算法中，需要考虑每个元素与后续所有元素的关系，而在O(n log n)算法中，通过数据结构的高效性减少了复杂度。 解决这个问题的关键是理解递归和动态规划的概念，以及如何有效地利用这些工具来搜索和维护递增子序列的信息。熟练掌握这两种算法将有助于你在实际编程中解决此类问题。