O(nlogn)时间复杂度求解最长上升子序列问题

知识点一：最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence, LIS)问题 LIS问题是计算机科学中的一个经典算法问题，旨在在一个给定的序列中找到一个最长的上升子序列。上升子序列指的是序列中的数字按照严格递增的顺序排列，但是不一定要求相邻。例如，在序列 {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18} 中，最长上升子序列是 {2, 3, 7, 101} 或者 {2, 5, 7, 101}。 知识点二：时间复杂度O(nlogn)的算法思路 要找到一个序列的LIS，并且要求算法的时间复杂度为O(nlogn)，一个有效的方法是使用动态规划(Dynamic Programming, DP)结合二分查找算法。该算法的核心思想是维护一个有序数组（通常使用C++中的set或lower_bound来实现），来记录当前所有可能的LIS的最小尾数，并用二分查找来确定新的元素在有序数组中的插入位置。 知识点三：动态规划解决LIS问题的步骤 1. 初始化一个数组dp，dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度，dp数组的初始值设为1，因为每个元素自身至少构成长度为1的上升子序列。 2. 从第二个元素开始，遍历整个序列。对于每个元素arr[i]： a. 对于每一个0<=j<i的元素，如果arr[j]<arr[i]，则说明arr[i]可能跟在arr[j]后面形成一个更长的上升子序列，更新dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。 b. 维护一个有序数组（例如C++中的set或multiset），记录所有可能的dp[i]的值。当需要更新dp[i]时，使用二分查找确定arr[i]在有序数组中的合适位置并更新之。 3. 遍历完所有元素后，有序数组中的最大值即为整个序列的LIS长度。 知识点四：C++代码实现要点 1. 使用C++标准库中的set或者multiset来维护一个有序数组，并使用其提供的lower_bound或upper_bound函数来执行二分查找操作。 2. 遍历原数组时，对每个元素进行处理，计算其LIS长度，并在有序数组中找到合适的位置插入或更新。 3. 最后有序数组的最后一个元素即为所求的LIS长度。 知识点五：文件名"lis.cpp"解析 该文件名"lis.cpp"表示该文件是一个C++源代码文件，它包含了实现求解LIS问题的程序代码。文件名"lis"直接对应了问题的缩写，而".cpp"后缀表示这是一个C++编写的源文件。 知识点六：实践应用 解决LIS问题不仅在理论上有重要的价值，它在实际应用中也非常广泛。例如，在生物信息学中，LIS可以用来比较基因序列；在数据压缩中，可以用来进行高效的编码；在机器学习中，可以用于特征选择，从而提高模型的性能等。因此，掌握高效求解LIS的算法对于软件开发人员、数据科学家及工程师而言是非常重要的一项技能。