无约束优化算法解析：最速下降法实现

该文档是关于最优化理论与最优化控制的作业，主要涉及无约束优化问题的解决，包括四种常见的优化算法：最速下降法、牛顿法、共轭梯度法和拟牛顿法。其中，文档重点介绍了最速下降法的详细步骤和实现代码。 在无约束优化问题中，目标是找到一个使得目标函数达到最小值的点。文档提供的目标函数是一个二次函数，形如\( f(x) = (x^3 - y)^2 + 2(y - x)^4 \)。这个函数在三维空间中形成了一个复杂的曲面，可以通过绘图来直观展示其形状。 最速下降法是一种基本的优化算法，其核心思想是从初始点出发，沿着目标函数梯度的负方向进行迭代，每次迭代都会使函数值下降最快。算法步骤如下： 1. 选择初始点\( x(1) \)。 2. 计算当前点的目标函数梯度\( \▽f(x(k)) \)，作为搜索方向的反向，即\( d = -\▽f(x(k)) \)。 3. 如果梯度的范数小于预设的误差阈值\( \epsilon \)，则认为已经接近极小点，停止计算。 4. 否则，进行一维线性搜索，找到步长\( \lambda_k \)，使得\( f(x(k) + \lambda_k d(k)) \)最小（在\( \lambda \geq 0 \)的范围内）。 5. 更新位置\( x(k+1) = x(k) + \lambda_k d(k) \)，增加迭代次数\( k \)，然后回到步骤2。 文档中还给出了最速下降法的MATLAB实现，包括计算梯度、 Armijo搜索规则（用于确定步长）以及迭代过程中的图形绘制。在MATLAB代码中，使用了`feval`函数来计算目标函数值和梯度，`norm`函数来判断梯度的范数，以及`meshgrid`和`mesh`函数来生成并显示目标函数的三维图像。 此外，文档还通过在迭代过程中画出点的轨迹，可视化了最速下降法寻找极小点的过程。在满足迭代次数限制（本例中为5000次）或达到预设的精度（梯度范数小于\( 10^{-4} \)）时，算法终止并输出极值点的坐标、迭代次数及对应的函数值。 这个作业提供了理解和应用最速下降法的基础，对于学习最优化算法的初学者来说是非常有价值的。不过，实际应用中，更高效的优化算法如牛顿法、共轭梯度法和拟牛顿法也非常重要，它们通常能够更快地收敛到最优解。这些方法在解决更复杂优化问题时，如大型线性或非线性问题，表现出更好的性能。