"清华笔记：拟共形映射理论与曲面注册问题"

清华笔记：计算共形几何讲义（18）中介绍了拟共形映射（Quasi-Conformal Map）的概念和应用。拟共形映射是研究曲面间映射的数学分支，其主要研究内容包括映射的表示、满足特定限制的映射的存在性和唯一性、在映射空间中的优化和变分、最优映射和全纯微分的关系等等。 在工程和医学实践领域，寻找满足特定限制条件的高质量微分同胚一直是一个重要问题。在图1中所描述的问题中，给定两张三维人脸曲面，我们希望找到一个微分同胚，使得两个曲面上的相应特征点对应。同时，我们希望此微分同胚尽量光滑，并且减小几何畸变。通常情况下，满足这些限制的共形变换是不存在的。因此，我们需要将共形映射拓广到一般的微分同胚，即拟共形映射。 拟共形映射将曲面的无穷小圆映到无穷小椭圆区域，如图2所示。图2中，左帧曲面的每一个小圆盘区域都映射到右侧椭圆盘区域。椭圆域的偏心率和方向给出了Beltrami系数，它们决定了映射的特征。拟共形映射相对于共形映射来说，具有更广泛的应用领域和更灵活的变换性质。 拟共形映射的重要性在于它能够满足一些特殊限制条件，如保持角度的变换、保持曲面上的等距性等。这些限制条件在一些工程和医学领域的应用中是十分重要的。通过拟共形映射，我们可以更好地实现曲面间的匹配和对应，从而提高曲面处理和形状分析的准确性和效率。 为了实现拟共形映射，研究者们提出了一系列算法和方法。其中一种常用的方法是基于Beltrami方程的求解。Beltrami系数是描述拟共形映射的关键因素，通过求解Beltrami方程，可以得到拟共形映射的具体形式。另外，还有一些优化方法和变分方法可以用来寻找最优的拟共形映射，以满足特定限制条件。全纯微分在拟共形映射的理论研究和应用中也起到了重要的作用。 总之，拟共形映射理论是研究曲面间映射的数学分支之一，其主要目标是研究满足特定限制条件的映射的表示、存在性和唯一性，以及在映射空间中的优化和变分。拟共形映射在工程和医学实践中有广泛的应用，可以提高曲面处理和形状分析的准确性和效率。通过求解Beltrami方程和应用优化方法和变分方法，可以得到满足特定限制条件的拟共形映射。全纯微分在拟共形映射的理论研究和应用中扮演着重要的角色。