线性代数复习：实对称矩阵的特征值与特征向量

"这篇资料是关于线性代数的复习，涵盖了行列式的定义、性质、展开和算法，以及矩阵的定义、运算、初等变换和初等矩阵等内容。此外，还给出了两个具体的行列式计算示例和一个涉及矩阵逆与伴随矩阵的问题。" 在线性代数中，特征值和特征向量是理解和分析矩阵性质的关键概念。给定的题目中，首先介绍了一个3阶实对称矩阵A，其特征值分别为λ1=1，λ2=2和λ3=-2。实对称矩阵具有重要的性质，即它的特征值都是实数，并且总有与之对应的正交归一化特征向量。题目中α1=(1,-1,1)T是属于特征值λ1=1的特征向量。 接着，我们有一个矩阵B，它是A的5次幂减去4乘以A的3次幂再加单位矩阵E。为了验证α1是否是矩阵B的特征向量，我们需要检验Bα1是否等于某个数乘以α1。根据特征值和特征向量的定义，如果λ是矩阵A的特征值，而v是对应特征向量，那么Av=λv。因此，对于B，我们可以计算Bα1 = (A^5 - 4A^3 + E)α1，然后检查结果是否可以写成某个数λ乘以α1。 要找到矩阵B的所有特征值，我们需要解B的特征方程|B - λI| = 0，其中I是单位矩阵。这通常涉及到计算B的行列式，并找出使行列式为零的λ值。由于B是A的幂和单位矩阵的线性组合，其特征值可以通过A的特征值来推导。具体过程可能涉及多项式代数和特征值的幂次关系。 对于第二个问题，一个秩为2的3阶实对称矩阵A，意味着它有三个特征值，但只有两个是独立的，因为秩等于非零特征值的个数。要找到特征值和特征向量，我们可以使用特征方程|A - λI| = 0，解这个方程得到特征值，然后通过求解线性系统(A - λI)x = 0找到特征向量。由于A是对称的，非零特征向量将是正交的。最后，要找出矩阵A本身，我们可以使用特征值和特征向量构建A的对角化形式，即A = PDP^-1，其中D是对角矩阵，包含特征值，P的列是对应的正交特征向量。 行列式是矩阵理论中的基本工具，它可以用来判断矩阵是否可逆，计算矩阵的逆和伴随矩阵，以及确定矩阵的秩。在给定的行列式计算示例中，我们使用行列式的性质，如交换行或列不会改变行列式的值，行（列）展开，以及行列式与矩阵乘积的关系来解决问题。例如，例2中，我们可以通过将A和B的元素表示为基向量的线性组合，然后应用行列式的性质来计算det(B)。 在处理矩阵的初等变换时，我们通常使用初等矩阵，它们是对单位矩阵进行一次初等行变换得到的。初等矩阵包括交换两行、某行乘以常数和某行加上另一行的常数倍。这些变换在解决线性方程组、简化矩阵和求逆等问题时非常有用。 线性代数是理解多元线性关系的基础，其核心包括行列式、矩阵及其运算、特征值和特征向量，这些内容在工程、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。通过深入理解和掌握这些概念，我们可以更好地分析和解决复杂的线性问题。