Z变换与DTFT转换详解：从s平面到z平面

"这篇资源主要讨论了从s平面到z平面的映射，以及在数字信号处理（DSP）中的Z变换和离散时间傅里叶变换（DTFT）的应用。内容涵盖z变换的定义、收敛域、反变换、基本性质和定理，以及序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换之间的关系。同时，还介绍了离散时间信号的Fourier变换及其特性，以及离散系统的系统函数和频率响应。" 在数字信号处理领域，z变换是分析离散时间信号和系统的重要工具。z变换将离散时间序列转换为复变量z的函数，它类似于连续时间信号的拉普拉斯变换。定义一个离散时间序列x[n]的z变换为X(z) = Σ(x[n]*z^(-n))，其中n从负无穷到正无穷，z是复数。z变换的收敛域是指z取值的范围，使得上述级数收敛。 z变换的反变换用于从Z域恢复原序列，即找到满足X(z)的x[n]。z变换有若干基本性质，如线性性质、时间平移和尺度缩放等，这些性质使z变换在处理线性时不变系统时非常有用。 z变换与连续时间信号的Laplace变换和Fourier变换之间存在联系。Laplace变换是处理连续时间信号的工具，而Fourier变换是其特殊形式，当s=jω时。对于离散时间信号，DTFT是其频谱分析的基础，它将离散时间序列转换为其频域表示，即X(e^(jω))。DTFT是周期性的，因为它处理的是离散信号，而离散时间序列的周期性导致频谱也是周期的。 在分析离散系统时，z变换可以帮助我们得到系统函数H(z)，它是输入信号X(z)和输出信号Y(z)的比值。系统函数H(z)在z平面上的极点和零点分布描述了系统的动态特性。系统频率响应是系统函数H(z)在单位圆上的值，它给出了系统对不同频率输入的响应。 本章内容深入探讨了z变换和DTFT变换在数字信号处理中的应用，它们是理解和设计离散时间系统的关键。通过这些变换，工程师可以更方便地进行滤波器设计、系统稳定性分析和信号的频域分析。