线性系统理论详解：特征值、可控性与可观性

"北航线性系统理论相关课程的答案详解" 这篇资料涵盖了北航线性系统理论的多个重要知识点，主要涉及线性系统的性质、特征值、特征向量、可控性、可观测性和状态转移矩阵等方面。 首先，线性系统的特征值和特征向量是理解系统动态行为的关键。例如，在问题1-1中，通过矩阵A的特征多项式确定了特征值，并进一步求得了对应的特征向量。特征值和特征向量的性质对于分析系统的稳定性至关重要。 其次，系统的时间特性也是核心概念。如1-7题所示，因果性和时不变性是衡量系统动态响应的重要标准。因果性意味着当前的输出仅依赖于过去的输入，而时不变性则表明输入延迟不影响系统的输出响应。题目通过检验系统的传递函数来判断这两个属性。 线性性和时变性在1-8题中被探讨。线性系统满足齐次性和可加性，而1-8题中的系统被证实既是线性的又是时变的。此外，1-11题讨论了系统的响应与输入的关系，通过绘制图形分析了不同输入下系统的输出行为。 状态空间表示和状态转移矩阵在1-15题中得到应用。状态转移矩阵描述了系统状态随时间变化的规律，这里给出了基本矩阵和状态转移矩阵的具体形式。 1-17和1-19题涉及矩阵运算和线性代数的概念，用于证明某些等式或性质，这在控制系统设计和分析中非常常见。 控制系统的可控性和可观测性在2-2至2-4题中被深入讨论。可控性意味着可以通过合适的输入信号使系统从任意初始状态转移到任意目标状态，而可观测性则表示可以通过系统的输出来估计系统的内部状态。这些性质可以通过计算可控矩阵和可观测矩阵的秩来判断。在2-2题的解答中，展示了如何根据这些矩阵判断系统的可控性和可观测性。 2-3题证明了连续时间线性系统可控性的一个重要性质，即存在特定输入使系统状态在任意时刻转移到任意状态。而在离散时间系统中，这个条件可能更为严格。 最后，2-4题证明了如果系统在某个时间点可控，则在所有时间点都是可控的，但反向并不一定成立，这体现了连续时间系统控制性质的特殊性。 总结来说，这份资料详细解答了一系列关于线性系统理论的问题，包括但不限于特征值、特征向量、系统性质（因果性、时不变性、线性性、时变性）、状态空间模型、可控性和可观测性等关键概念，对于学习和理解线性系统理论具有很高的参考价值。