中国矿业大学矩阵论试题解析：线性空间与矩阵运算

"这是一份来自中国矿业大学的18级矩阵论期末考试的试题与答案，包含矩阵的线性组合、向量空间的维数、基的求解、矩阵运算等核心知识点。" 在矩阵论中，该试题涉及到以下几个关键知识点： 1. **向量空间的维数和基**： - 维数：题目中要求求两个向量集合的和与交的维数。向量空间的维数是向量组中最大线性无关组的元素个数。例如，集合V1和V2的和的维数等于两个集合的秩之和减去它们的最大线性无关组的重叠部分的维数。 - 基：线性无关的向量组可以生成整个向量空间，并且任何向量都可以表示为这些基向量的线性组合。题目中求出了向量集合的基，例如，向量组{1, 2, 1}和{2, 1, 2}的线性无关组。 2. **线性组合和线性相关**： - 线性组合：题目中提到了向量的线性组合，如"任意的V∩V∈α有，存在b, a使得α=β+b"，这表示向量α可以通过其他向量的线性组合得到。 - 线性相关：如果一个向量组可以被另一组较小的向量组线性表示，那么它们是线性相关的。题目中通过矩阵运算求解了基础解系，展示了如何判断向量的线性相关性。 3. **矩阵运算**： - 矩阵乘法和加法：题目中的矩阵运算涉及到矩阵的加法和乘法，如"αβ=b"和"2×2矩阵的运算"，这是矩阵论的基本运算。 - 矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵列向量或行向量的最大线性无关组的元素个数，它是判断矩阵是否可逆的重要依据。在求解向量集合的维数时，矩阵的秩起到了关键作用。 4. **行列式和逆矩阵**： - 行列式的计算：第二个问题中给出的矩阵要求进行行列式的计算，行列式是判断矩阵是否可逆的关键工具，同时也是解决线性方程组问题的重要手段。 - 逆矩阵：虽然题目中没有直接提到逆矩阵，但在实际的矩阵运算中，寻找逆矩阵是解决线性系统的一部分。 5. **线性方程组的解**： - 基础解系：在求解线性方程组时，基础解系是指线性方程组的齐次部分的所有非零解构成的空间。题目中通过矩阵运算找出了基础解系，这对于理解线性方程组的解结构至关重要。 矩阵论是线性代数的核心部分，对理解和解决涉及矩阵的问题具有重要作用。这份试题涵盖了矩阵论的基础知识，包括向量空间的性质、线性组合与相关性、矩阵的运算以及线性方程组的解法，是复习和掌握矩阵论知识的良好材料。