微积分基本公式一览

"微积分基本公式.doc" 微积分是数学中的核心分支，主要研究函数的积分与微分。这些公式在解决各种数学问题、物理问题以及工程应用中扮演着至关重要的角色。以下是一些基本的微积分公式： 1. **三角函数的导数**： - 对于正弦函数 $\sin x$，其导数是 $\cos x$，即 $D_x \sin x = \cos x$。 - 对于余弦函数 $\cos x$，其导数是 $-\sin x$，即 $D_x \cos x = -\sin x$。 - 对于正切函数 $\tan x$，其导数是 $\sec^2 x$，即 $D_x \tan x = \sec^2 x$。 - 对于余切函数 $\cot x$，其导数是 $-\csc^2 x$，即 $D_x \cot x = -\csc^2 x$。 2. **反三角函数的导数**： - 反正弦函数 $\sin^{-1} x$ 的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，即 $D_x \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。 - 反余弦函数 $\cos^{-1} x$ 的导数是 $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，即 $D_x \cos^{-1} x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。 - 反正切函数 $\tan^{-1} x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$，即 $D_x \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^2}$。 - 反余切函数 $\cot^{-1} x$ 的导数是 $-\frac{1}{1+x^2}$，即 $D_x \cot^{-1} x = -\frac{1}{1+x^2}$。 3. **双曲函数的导数**： - 双曲正弦函数 $\sinh x$ 的导数是 $\cosh x$，即 $D_x \sinh x = \cosh x$。 - 双曲余弦函数 $\cosh x$ 的导数是 $\sinh x$，即 $D_x \cosh x = \sinh x$。 - 双曲正切函数 $\tanh x$ 的导数是 $1 - \tanh^2 x$ 或 $\sech^2 x$，即 $D_x \tanh x = 1 - \tanh^2 x$ 或 $D_x \tanh x = \sech^2 x$。 - 双曲余切函数 $\coth x$ 的导数是 $1 + \coth^2 x$ 或 $-\csch^2 x$，即 $D_x \coth x = 1 + \coth^2 x$ 或 $D_x \coth x = -\csch^2 x$。 4. **积分规则**： - 积分的基本性质包括分部积分法（$D_x(uv) = uv + D_x u dv$）以及链式法则等。 这些公式对于解决涉及三角函数、反三角函数及双曲函数的微积分问题至关重要。它们不仅适用于求解导数，还能用于求解不定积分和定积分，进而计算面积、体积、物理量的变化率等问题。理解并熟练运用这些公式，是学习微积分和进行相关计算的基础。