拓展线性回归：非线性映射与概率解释

线性回归是统计学和机器学习中的基础模型，它描述了因变量与一组自变量之间线性关系的预测方法。在经典的线性回归模型中，目标变量\( y \)被视为输入变量\( \mathbf{x} \)的线性组合，即\( y = w_0 + w_1x_1 + ... + w_dx_d \)，其中\( w_i \)是权重参数，\( x_i \)是输入特征，\( w_0 \)是偏置项，代表当所有输入为0时的预测值。 然而，原始的线性模型具有一定的局限性，因为它假设输入变量之间的关系是线性的。为了扩展模型的表达能力，我们可以引入非线性基函数\( \phi(\cdot) \)，将输入变量转换为新的特征空间。例如，多项式回归就是一种常见的基于基函数的线性回归，通过不同阶的多项式来捕捉输入的复杂关系。另一种非线性基函数如高斯核函数或sigmoid函数可以引入非线性依赖。 在这个通用化的概率解释中，我们假定目标变量\( y \)服从高斯分布，加上了加性高斯噪声。给定输入数据集\( \{(\mathbf{x}_i, y_i)\}_{i=1}^n \)，我们想要找到一组参数\( \theta \)使得数据点的观测值最有可能来自这样的噪声模型。为此，我们最大化似然函数，也就是最大化数据点落入模型的概率。通过取对数似然并将其转化为负对数似然（NLL），我们得到了损失函数，通常选择平方和误差（MSE）作为损失，因为它的梯度简化了求解过程。 最大化似然时，我们通过设置NLL关于参数的梯度等于0，得到最小二乘问题的规范方程，这是一个关于设计矩阵\( \mathbf{X} \)和偏置项的线性方程组。设计矩阵是由输入特征经过基函数映射后的列向量构成的，而偏置系数\( w_0 \)则在矩阵形式的正规方程中单独处理。 最后，理解偏置系数的重要性在于它不仅仅是模型的一部分，而且在某些情况下，它提供了模型预测的一个基准值。通过最小二乘法解决的规范方程，我们不仅求得了模型参数，也明确了模型的预测结构，这对于理解模型行为以及进行预测具有重要意义。 总结来说，线性回归的通用化概率解释涉及到模型的扩展、非线性变换、最大似然估计以及优化方法的应用，这些都是在实际数据分析和机器学习中不可或缺的技术。通过理解和掌握这些概念，我们可以构建出更强大的模型来适应复杂的数据模式。